Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
xxl1 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Можно заметить, что степени числа [math]25,[/math] начиная с нулевой, при делении на [math]84[/math] дают остатки [math]1,~25,~37,~1,~25,~37,~...[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: michel |
||
dr Watson |
|
|
Стандартный путь таков: [math]84=12\cdot7.[/math] Далее [math]25\equiv1\pmod {12},\, 25\equiv4\pmod {7}, \,4^3\equiv1\pmod {7}[/math] и [math]19\equiv1\pmod {3}[/math]. Отсюда [math]25^{19^{27}}\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]25^{19^{27}}\equiv4\pmod {7}[/math]. Остаётся по китайской теореме об остатках найти искомый остаток [math]x[/math] из системы [math]\left\{\begin{matrix}x\equiv 1\pmod {12}\\ x\equiv 4\pmod {7}\end{matrix}\right.[/math]
Получится [math]25^{19^{27}}\equiv25\pmod {84}[/math] Если сразу заметить, что [math]25^3\equiv1\pmod {84}[/math] (а это следует из [math]1^3\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]4^3\equiv1\pmod {7}[/math]) , то дальше всё очевидно, так как [math]19\equiv1\pmod {3}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
dr Watson, все замечательно! Но Andy нашел более краткий способ решения! Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
michel писал(а): Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше! Чтобы ответить на этот вопрос, нужно, по-моему, с пониманием дела прочитать главу о степенных вычетах в известном учебнике А. А. Бухштаба, например. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Если использовать теория сравнений в полной мере,то [math]\varphi(84)=24[/math], следовательно
[math]25^{24}\equiv 1\pmod {84}[/math] [math]25^{27}\equiv x\pmod{84}[/math] [math]25^3\equiv x\pmod{84}[/math] [math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math] [math]25^{18+1}\equiv x\pmod{84}[/math] [math]25\equiv x\pmod{84}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
michel писал(а): vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math] Извиняюсь. принял условие через запятую [math]19,...27[/math] Тогда еще проще. [math]19^{27}\equiv y\pmod 3[/math] [math]19^2\equiv 1\pmod 3[/math] т.к. [math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math], то [math]25^{{19}^{27}}\equiv 25\pmod{84}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
6 |
854 |
04 апр 2018, 18:27 |
|
Найти остаток от деления | 2 |
1754 |
04 июн 2014, 21:24 |
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
2 |
796 |
16 янв 2015, 20:46 |
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
4 |
892 |
20 янв 2015, 22:15 |
|
Найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
17 |
561 |
29 сен 2022, 13:50 |
|
Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67
в форуме Теория чисел |
7 |
1186 |
11 ноя 2017, 12:00 |
|
Теория Чисел (Найти остаток от деления)
в форуме Теория чисел |
9 |
1120 |
12 янв 2015, 19:43 |
|
Теория чисел, найти остаток от деления
в форуме Теория чисел |
1 |
472 |
06 дек 2016, 22:40 |
|
Найти остаток от деления числа в степени
в форуме Теория чисел |
32 |
23037 |
15 дек 2014, 20:15 |
|
Найти остаток от деления многочлена на многочлен в кольце | 2 |
741 |
13 апр 2021, 23:40 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |