Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 02:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2017, 02:09
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, нужно найти остаток от деления 25 в степени 19 в степени 27 на 84. Как решать сам остаток от деления знаю, но смущает степень 19 в степени 27. Вычислять её так или есть более простые пути?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 09:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 17627
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1228
Спасибо получено:
3764 раз в 3484 сообщениях
Очков репутации: 712

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно заметить, что степени числа [math]25,[/math] начиная с нулевой, при делении на [math]84[/math] дают остатки [math]1,~25,~37,~1,~25,~37,~...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 10:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2260
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
738 раз в 584 сообщениях
Очков репутации: 189

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартный путь таков: [math]84=12\cdot7.[/math] Далее [math]25\equiv1\pmod {12},\, 25\equiv4\pmod {7}, \,4^3\equiv1\pmod {7}[/math] и [math]19\equiv1\pmod {3}[/math]. Отсюда [math]25^{19^{27}}\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]25^{19^{27}}\equiv4\pmod {7}[/math]. Остаётся по китайской теореме об остатках найти искомый остаток [math]x[/math] из системы [math]\left\{\begin{matrix}x\equiv 1\pmod {12}\\ x\equiv 4\pmod {7}\end{matrix}\right.[/math]
Получится [math]25^{19^{27}}\equiv25\pmod {84}[/math]
Если сразу заметить, что [math]25^3\equiv1\pmod {84}[/math] (а это следует из [math]1^3\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]4^3\equiv1\pmod {7}[/math]) , то дальше всё очевидно, так как [math]19\equiv1\pmod {3}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 11:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2949
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
983 раз в 910 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson, все замечательно! Но Andy нашел более краткий способ решения! Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 11:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 17627
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1228
Спасибо получено:
3764 раз в 3484 сообщениях
Очков репутации: 712

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно, по-моему, с пониманием дела прочитать главу о степенных вычетах в известном учебнике А. А. Бухштаба, например.
На это способны только профессиональные математики. Все мои попытки понять и запомнить написанное до этой темы, успехом не увенчались.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 12:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3088
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
449 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если использовать теория сравнений в полной мере,то [math]\varphi(84)=24[/math], следовательно

[math]25^{24}\equiv 1\pmod {84}[/math]
[math]25^{27}\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25^3\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math]
[math]25^{18+1}\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25\equiv x\pmod{84}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 12:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2949
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
983 раз в 910 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 15:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3088
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
449 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]

Извиняюсь. принял условие через запятую [math]19,...27[/math]
Тогда еще проще.
[math]19^{27}\equiv y\pmod 3[/math]
[math]19^2\equiv 1\pmod 3[/math]
т.к. [math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math], то
[math]25^{{19}^{27}}\equiv 25\pmod{84}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти остаток от деления и последнюю цифру от деления

в форуме Теория чисел

shurup4ik91

5

2493

09 дек 2010, 23:20

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

kicultanya

6

269

04 апр 2018, 18:27

Найти остаток от деления

в форуме Алгебра

afraumar

3

607

15 авг 2013, 13:05

Найти остаток от деления

в форуме Алгебра

afraumar

4

2586

12 авг 2013, 15:20

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Sec

4

649

20 янв 2015, 22:15

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

PiterAnd

15

2888

30 сен 2012, 16:42

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Trek

2

529

16 янв 2015, 20:46

Найти остаток от деления

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nadzor_26

2

947

04 июн 2014, 21:24

Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67

в форуме Теория чисел

kapyshkina_darya

7

312

11 ноя 2017, 12:00

Найти остаток от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

azh

29

8703

15 дек 2014, 20:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved