Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 03:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2017, 03:09
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, нужно найти остаток от деления 25 в степени 19 в степени 27 на 84. Как решать сам остаток от деления знаю, но смущает степень 19 в степени 27. Вычислять её так или есть более простые пути?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 10:10 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 17126
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1174
Спасибо получено:
3674 раз в 3400 сообщениях
Очков репутации: 699

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно заметить, что степени числа [math]25,[/math] начиная с нулевой, при делении на [math]84[/math] дают остатки [math]1,~25,~37,~1,~25,~37,~...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 11:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2203
Cпасибо сказано: 82
Спасибо получено:
732 раз в 578 сообщениях
Очков репутации: 187

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартный путь таков: [math]84=12\cdot7.[/math] Далее [math]25\equiv1\pmod {12},\, 25\equiv4\pmod {7}, \,4^3\equiv1\pmod {7}[/math] и [math]19\equiv1\pmod {3}[/math]. Отсюда [math]25^{19^{27}}\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]25^{19^{27}}\equiv4\pmod {7}[/math]. Остаётся по китайской теореме об остатках найти искомый остаток [math]x[/math] из системы [math]\left\{\begin{matrix}x\equiv 1\pmod {12}\\ x\equiv 4\pmod {7}\end{matrix}\right.[/math]
Получится [math]25^{19^{27}}\equiv25\pmod {84}[/math]
Если сразу заметить, что [math]25^3\equiv1\pmod {84}[/math] (а это следует из [math]1^3\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]4^3\equiv1\pmod {7}[/math]) , то дальше всё очевидно, так как [math]19\equiv1\pmod {3}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 12:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2578
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
851 раз в 789 сообщениях
Очков репутации: 128

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson, все замечательно! Но Andy нашел более краткий способ решения! Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 12:33 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 17126
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1174
Спасибо получено:
3674 раз в 3400 сообщениях
Очков репутации: 699

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно, по-моему, с пониманием дела прочитать главу о степенных вычетах в известном учебнике А. А. Бухштаба, например.
На это способны только профессиональные математики. Все мои попытки понять и запомнить написанное до этой темы, успехом не увенчались.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 13:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 3075
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
447 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если использовать теория сравнений в полной мере,то [math]\varphi(84)=24[/math], следовательно

[math]25^{24}\equiv 1\pmod {84}[/math]
[math]25^{27}\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25^3\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math]
[math]25^{18+1}\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25\equiv x\pmod{84}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 13:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2578
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
851 раз в 789 сообщениях
Очков репутации: 128

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 16:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 3075
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
447 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]

Извиняюсь. принял условие через запятую [math]19,...27[/math]
Тогда еще проще.
[math]19^{27}\equiv y\pmod 3[/math]
[math]19^2\equiv 1\pmod 3[/math]
т.к. [math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math], то
[math]25^{{19}^{27}}\equiv 25\pmod{84}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Sec

4

642

20 янв 2015, 23:15

Найти остаток от деления

в форуме Алгебра

afraumar

4

2534

12 авг 2013, 16:20

Найти остаток от деления

в форуме Алгебра

afraumar

3

583

15 авг 2013, 14:05

Найти остаток от деления

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nadzor_26

2

919

04 июн 2014, 22:24

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

kicultanya

6

239

04 апр 2018, 19:27

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Trek

2

521

16 янв 2015, 21:46

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

PiterAnd

15

2826

30 сен 2012, 17:42

Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67

в форуме Теория чисел

kapyshkina_darya

7

276

11 ноя 2017, 13:00

Теория Чисел (Найти остаток от деления)

в форуме Теория чисел

Sirius

9

929

12 янв 2015, 20:43

Найти остаток от деления многочлена (x+1)^100 на трехчлен

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

NastyaArtem

1

911

03 июн 2013, 23:54


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved