Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 03:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2017, 03:09
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, нужно найти остаток от деления 25 в степени 19 в степени 27 на 84. Как решать сам остаток от деления знаю, но смущает степень 19 в степени 27. Вычислять её так или есть более простые пути?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 10:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15182
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3341 раз в 3089 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно заметить, что степени числа [math]25,[/math] начиная с нулевой, при делении на [math]84[/math] дают остатки [math]1,~25,~37,~1,~25,~37,~...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 11:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2055
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
683 раз в 538 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартный путь таков: [math]84=12\cdot7.[/math] Далее [math]25\equiv1\pmod {12},\, 25\equiv4\pmod {7}, \,4^3\equiv1\pmod {7}[/math] и [math]19\equiv1\pmod {3}[/math]. Отсюда [math]25^{19^{27}}\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]25^{19^{27}}\equiv4\pmod {7}[/math]. Остаётся по китайской теореме об остатках найти искомый остаток [math]x[/math] из системы [math]\left\{\begin{matrix}x\equiv 1\pmod {12}\\ x\equiv 4\pmod {7}\end{matrix}\right.[/math]
Получится [math]25^{19^{27}}\equiv25\pmod {84}[/math]
Если сразу заметить, что [math]25^3\equiv1\pmod {84}[/math] (а это следует из [math]1^3\equiv1\pmod {12}[/math] и [math]4^3\equiv1\pmod {7}[/math]) , то дальше всё очевидно, так как [math]19\equiv1\pmod {3}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 12:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson, все замечательно! Но Andy нашел более краткий способ решения! Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 12:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15182
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3341 раз в 3089 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Возникает вопрос, как можно сразу подсчитать число всех возможных остатков при сравнении степени числа [math]25[/math] по модулю [math]84[/math] (равное трем), если число взаимно простых чисел с ним равно [math]24[/math], т.е. в 8 раз больше!

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно, по-моему, с пониманием дела прочитать главу о степенных вычетах в известном учебнике А. А. Бухштаба, например.
На это способны только профессиональные математики. Все мои попытки понять и запомнить написанное до этой темы, успехом не увенчались.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 13:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2900
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
412 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если использовать теория сравнений в полной мере,то [math]\varphi(84)=24[/math], следовательно

[math]25^{24}\equiv 1\pmod {84}[/math]
[math]25^{27}\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25^3\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math]
[math]25^{18+1}\equiv x\pmod{84}[/math]
[math]25\equiv x\pmod{84}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 13:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления
СообщениеДобавлено: 25 июн 2017, 16:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2900
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
412 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
vorvalm, в условии задачи задана степень при 25 равная [math]19^{27}[/math], а не [math]27[/math]

Извиняюсь. принял условие через запятую [math]19,...27[/math]
Тогда еще проще.
[math]19^{27}\equiv y\pmod 3[/math]
[math]19^2\equiv 1\pmod 3[/math]
т.к. [math]25^3\equiv 1\pmod {84}[/math], то
[math]25^{{19}^{27}}\equiv 25\pmod{84}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

PiterAnd

15

2532

30 сен 2012, 17:42

Найти остаток от деления

в форуме Алгебра

afraumar

3

481

15 авг 2013, 14:05

Найти остаток от деления

в форуме Алгебра

afraumar

4

2333

12 авг 2013, 16:20

Найти остаток от деления

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nadzor_26

2

809

04 июн 2014, 22:24

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Sec

4

536

20 янв 2015, 23:15

Найти остаток от деления

в форуме Теория чисел

Trek

2

450

16 янв 2015, 21:46

Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67

в форуме Теория чисел

kapyshkina_darya

7

101

11 ноя 2017, 13:00

Найти остаток от деления - по той же схеме сравнения

в форуме Алгебра

afraumar

9

616

14 авг 2013, 21:16

Найти остаток от деления многочлена (x+1)^100 на трехчлен

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

NastyaArtem

1

774

03 июн 2013, 23:54

Теория Чисел (Найти остаток от деления)

в форуме Теория чисел

Sirius

9

832

12 янв 2015, 20:43


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved