Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 08:43 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 450
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
101 раз в 82 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброе утро.
Наш преподаватель добавил каждому к заданию по теории чисел задачу от себя. Вот она-то и вызвала у меня затруднения. Бьюсь над ней 2 дня, но ничего не могу придумать.
Привести несколько примеров бесконечной целочисленной последовательности с общим членом[math]\{ a_n\} , n \in \mathbb{N}[/math] такой, что любые её 2 члена были бы взаимно простыми.
Даже не знаю, как подступиться.


Последний раз редактировалось Gagarin 06 май 2017, 09:22, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 08:59 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 450
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
101 раз в 82 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, и ещё хочу заметить, что, например, последовательность простых чисел не проходит. Нужна формула общего члена в явном виде (не в описательном).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 09:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2840
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a_n=15+2^n[/math]
[math]a_n=10+3^n[/math] и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 10:21 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 918
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
360 раз в 282 сообщениях
Очков репутации: 130

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm, конечно, глупость написал.

Пример такой последовательности, в рекуррентном виде, например [math]a_{n+1}=a_n^2-2[/math] с нечетным первым членом.
Идея в том, что если [math]a_n\equiv 0 \pmod p[/math], то
[math]a_{n+1}\equiv -2\pmod p[/math]
[math]a_{n+2}\equiv 2 \pmod p[/math]
И т.д одни двойки, тоесть, никакой другой член не будет делится на данное простое p.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 10:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2840
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приведенные мной формулы дают вычеты ПСВ по модулю 30.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 10:39 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 918
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
360 раз в 282 сообщениях
Очков репутации: 130

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Приведенные мной формулы дают вычеты ПСВ по модулю 30.

И какое отношение имеет это к задаче.
Gagarin писал(а):
такой, что любые её 2 члена были бы взаимно простыми.

А по модули 17 (например) как быть? (для первого примера).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 06 май 2017, 11:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2840
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чем больше модуль ПСВ, равный [math]p\#[/math], тем длиннее цепочка ВПЧ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 02:14 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 450
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
101 раз в 82 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
[math]a_n=15+2^n[/math]
[math]a_n=10+3^n[/math] и т.д.

vorvalm
Что это такое: и т.д.?
Ведь ни одна из этих последовательностей не удовлетворяет условиям задачи. Я сначала попытался доказать попарную взаимопростоту, но ни методом исключённого третьего, ни индукцией сделать этого не смог!
Тогда я просто проверил несколько первых членов каждой последовательности и выяснил, что в первой из них [math]a_7[/math] и [math]a_{17}[/math] делятся на [math]11[/math], а во второй последовательности [math]a_4=3^4+10=7 \cdot 13[/math], и [math]a_7=3^7+10=13^3[/math]. Во как!
А я Вам ещё спасибо сказал. Я думал, что Вы... А Вы...
Shadows
Вам спасибо. А как можно строго доказать, что все члены Вашей рекуррентной последовательности попарно взаимно просты?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
vorvalm
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 09:22 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
21 сен 2013, 00:46
Сообщений: 450
Cпасибо сказано: 107
Спасибо получено:
101 раз в 82 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows
Вы меня натолкнули на мысль. Я, когда вчера пытался доказать Вашу рекуррентную последовательность, случайно обнаружил вот такую последовательность (не рекуррентную): [math]a_n=2^{2^n}+1[/math], где [math]n=0, 1, 2, \ldots[/math].
Получается так, что при делении двух любых членов этой последовательности (естественно, большего на меньший) в остатке всегда будет [math]2[/math], что и доказывает их взаимную простоту.
Вот думаю сейчас, есть ли ещё пример подобной последовательности. Мне уже и самому стало интересно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Последовательность с попарно взаимно простыми членами
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 09:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2840
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
404 раз в 371 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
Что это такое: и т.д.?

Я же потом пояснил, что эти формулы дают вычеты ПСВ по модулю 30.
А вам очень жалко за свое "спасибо"? Я его вам возвращаю. "Спасибо".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Попарно взаимно простые числа

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

mikail366

4

527

01 фев 2014, 23:48

Бесконечное множество попарно взаимно простых

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

2

311

26 ноя 2012, 14:29

Поиск попарно взаимно простых чисел

в форуме Теория чисел

STAR_IK

13

1127

07 авг 2013, 10:58

Объясните простыми словами

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

dimakarpov

1

104

27 май 2017, 13:44

Интервалы между простыми числами

в форуме Теория чисел

Abbas

8

711

13 мар 2014, 01:08

Минимизация функционала с простыми ограничениями

в форуме Численные методы

Arbuz

7

460

30 июн 2016, 19:16

Попарно несовместные события

в форуме Теория вероятностей

Aleksey_Semenov

3

282

16 мар 2015, 11:11

Попарно неизоморфные p,q графы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Colt1911

1

146

27 май 2015, 01:17

Решить показательное уравнение с простыми числами

в форуме Теория чисел

kristichka

21

1156

25 апр 2012, 19:35

Незнайка, Зайка и разбиение с простыми суммами

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

1

68

26 июл 2017, 00:33


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved