Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 06 апр 2017, 22:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 05:02
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую всех! Возник маленький спор между мной и моей учительницей. Задача звучит так: если N и M нечетные числа, доказать, что число N^2-M^2 делится на 8.
Задачу можно легко решить, если представить квадраты числел N и M в виде суммы первых N и M чётных чисел. Вопрос в другом: можно ли задачу решить методом индукции? Если да, подскажите как?
Заранее спасибо!


Последний раз редактировалось Arthur0905 06 апр 2017, 22:17, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 06 апр 2017, 22:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3902
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
581 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Arthur0905 писал(а):
Задача звучит так: если N и M четные числа, доказать, что число N^2-M^2 делится на 8.

[math]4^2-2^2[/math] на [math]8[/math] не делится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 06 апр 2017, 22:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 01:21
Сообщений: 190
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
47 раз в 40 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Контрпример: N=4, M=2, тогда N²-M²=12 => на 8 вряд ли нацело поделиться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 06 апр 2017, 22:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 05:02
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Задача звучит так: если N и M четные числа, доказать, что число N^2-M^2 делится на 8.

[math]4^2-2^2[/math] на [math]8[/math] не делится.

Извиняюсь. В задаче была ошибка. Речь идёт о нечетных числах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 06 апр 2017, 22:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3902
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
581 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Arthur0905 писал(а):
Вопрос в другом: можно ли задачу решить методом индукции? Если да, подскажите как?

Это будет неоправданно сложно для такой простой задачи. Тут нужна так называемая двойная индукция, поскольку задача зависит от двух параметров.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Arthur0905
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 00:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3902
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
581 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Arthur0905 писал(а):
Задачу можно легко решить, если представить квадраты числел N и M в виде суммы первых N и M чётных чисел.

До этого додуматься не так уж и просто. Проще через разность квадратов
[math](2k+1)^2-(2l+1)^2=(2k-2l)(2k+2l+2)=4(k-l)(k+l+1)[/math].
В последнем выражении одна из скобок - чётное число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метод индукции
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 15:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 05:02
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Arthur0905 писал(а):
Вопрос в другом: можно ли задачу решить методом индукции? Если да, подскажите как?

Это будет неоправданно сложно для такой простой задачи. Тут нужна так называемая двойная индукция, поскольку задача зависит от двух параметров.

Благодарю!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод мат. Индукции

в форуме Теория чисел

Smilelan

6

134

23 май 2018, 20:32

Метод мат.индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Bonaqua

5

321

18 ноя 2014, 01:44

Метод мат.индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

cincinat

8

148

09 дек 2016, 11:25

Метод индукции

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Arthur0905

5

156

22 мар 2018, 18:23

Метод Мат. Индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Tsuyu

1

129

03 окт 2015, 09:36

Метод математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Fozar

1

176

18 янв 2016, 11:38

Метод математической индукции

в форуме Алгебра

sfanter

1

99

02 май 2016, 10:14

Метод математической индукции

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

pinkpony

7

139

21 сен 2017, 01:46

Задачи на метод математической индукции

в форуме Алгебра

sun_sereny

3

940

03 мар 2013, 22:16

Метод математической индукции. Как не умереть от инсульта

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Mugabe

5

220

31 окт 2016, 00:38


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved