Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 12 янв 2017, 12:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
В курсовом не могу решить одну задачу. Уравнение такое:
[math]x^2+y^2-xy-x-y=0[/math]. Решить в целых числах.
Ну, одно решение [math](0;0)[/math] видно сразу. А вот дальше...
На лекциях давали несколько методов решения, но что-то не получается. Полный перебор здесь исключён, разложить на множители не удалось, выделить полный квадрат удалось, только пришёл к таким громоздким выражениям, что сам в них и запутался.
Может, есть метод попроще? Подскажите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 12 янв 2017, 12:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно, например, так
[math]x^2+y^2-xy-x-y=0 \iff 2(x-y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2+x^2+y^2=8[/math]

Откуда [math]0\leqslant x \leqslant 2, \quad 0\leqslant y \leqslant 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Gagarin, Shadows
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 12 янв 2017, 13:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
[math]0\leqslant x \leqslant 2, \quad 0\leqslant y \leqslant 2[/math]

swan
Спасибо за подсказку, но что-то не срастается. Например, пара [math](0;2)[/math] решением не является.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 12 янв 2017, 13:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А почему она должна быть решением?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 12 янв 2017, 13:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Самое наглядное решение - графическое. Предварительно обнаруживаем 6 точек:

Изображение

Затем их проверяем подстановкой в уравнение и оказывается всё верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 11:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Самое наглядное решение - графическое

Avgust
Решение, бесспорно, наглядное. А вот строгое ли? Следует ли из него, что кроме этих шести других решений не существует? Могу ли я представить его в таком виде в курсовой?
swan
Скажите, а можно ли так: решить данное уравнение как квадратное относительно, скажем, [math]x[/math]? Я так и сделал. Нашёл его дискриминант и решил неравенство [math]D\geqslant 0[/math]. Получился отрезок как у Вас: [math]0\leqslant x\leqslant 2[/math]. А потом несложным перебором нашёл все 6 решений.
Смущает одна вещь. Ведь я же при этом принял второе неизвестное [math]y[/math] за параметр. Вот меня и гложут всякие сомнения. Допустимо ли это? Ну в смысле корректности? Снимите камень с души.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 12:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, вполне допустимо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение 2-й степени
СообщениеДобавлено: 21 янв 2017, 12:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarinк.
А какие возможны пропущенные целочисленные решения, если смотреть на рисунок? Их явно нет. Но те точки, которые найдены, нужно конечно же проверять подстановкой. Ведь точка может на миллионную часть отличаться от целого значения. Конечно, мое решение не строгое, но ведь ответ верный получен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Gagarin
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диофантово уравнение второй степени

в форуме Теория чисел

searcher

4

1080

02 июн 2018, 09:49

Диофантово уравнение с иксом в степени

в форуме Теория чисел

math_user

30

822

15 авг 2019, 17:39

Диофантово уравнение 2 степени с 5 неизвестными

в форуме Теория чисел

Jully_s

9

880

15 фев 2019, 12:41

Уравнение диофантово

в форуме Теория чисел

3axap

23

823

17 июн 2021, 11:02

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

5

127

10 ноя 2023, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nataly-Mak

584

12748

12 дек 2015, 00:03

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

bravo

10

2814

17 июл 2014, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

McMurphy

2

166

07 июн 2023, 14:41

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

EvgeniyD

4

392

25 фев 2020, 11:11

Квадратное диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

Claudia

13

856

11 июн 2018, 11:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved