Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 15:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим следующую таблицу:
N2345678910111213......
F232^252*372^33^22*5112^2*313......
-1/0/1-1-10-11-1001-10-1......

В первой строке записаны числа натурального ряда, во второй - их факторизация, а в третьей - значения функции Мёбиуса \mu(N), которая ставит в соответствие каждому из чисел натурального ряда одно из значений:-1,0,1 по следующему принципу: Числам, факторизация которых содержит квадрат натурального числа ставится в соответствие 0, затем они исключаются из рассмотрения и далее числам, факторизация которых содержит нечетное количество простых чисел ставится в соответствие -1, а числам, факторизация которых содержит четное количество простых чисел ставится в соответствие 1.
Немного преобразуем функцию Мёбиуса:
По прежнему 0 будем ставить в соответствие числам, факторизация которых включает квадрат простого числа, затем как и в предыдущем случае, эти числа будем исключать из рассмотрения.
Однако -1 будем теперь ставить в соответствие тем числам, количество простых чисел в факторизации которые имеет остаток 1 при сравнении по модулю 2, а 1 будем ставить в соответствие тем числам, количество простых чисел в факторизации которых имеет остаток 0 при сравнении по модулю 2. В итоге мы получим те же значения, что и в предыдущем случае, однако руководствуясь не четностью-нечетностью количества простых в факторизации числа, а сравнением по модулю 2.
Последовательное сложение значений функции Мёбиуса: \mu(N) будет давать последовательный ряд значений функции Мертенса: M(N), т.е. [math]M(N)=\sum_{i=1}^{N} \mu_i[/math].

Существует эквивалентная формулировка гипотезы Римана: [math]M(N)=(N^{0.5+\epsilon})[/math]
Эта формулировка говорит о том, что избыток 1 по отношению к -1, или ,избыток -1 по отношению к 1, среди значений функции Мёбиуса: \mu(N), такой же как избыток в равномерном распределении, возникающем при подбрасывании "честной монеты". По сути, гипотеза Римана сводится к тому, что распределение значений:-1,1 функции \mu(N) в подмножестве ее значений:[-1,1] является равномерным.

Теперь сформулируем гиперобобщенную гипотезу Римана:

Для этого введем некоторое обобщение функции Мёбиуса, назовем его гиперобобщением, значения которой возникают при воздействии на натуральный ряд следующим образом: Всем числам натурального ряда, факторизация которых содержит квадрат простого числа всё также ставим в соответствие 0, далее исключаем их из рассмотрения и рассматриваем числа свободные от квадратов, числам, количество простых в факторизации которых имеет остаток 0 при сравнении по модулю k, ставим в соответствие 1, остаток 1 ставим в соответствие 2, ....., остаток k-1 ставим в соответствие k. Таким образом множество всех чисел натурального ряда свободного от квадратов можно разделить на k подмножеств.

Гиперобобщенная гипотеза Римана: Значения гиперобобщенной функции Мёбиуса: 1, 2, 3, .....k, распределены равномерно в множестве натуральных чисел, свободном от квадратов.

При k=2 данная гипотеза эквивалентна классической гипотезе Римана.
В предположении справедливости гиперобобщенной гипотезы Римана можно утверждать, что множество натуральных чисел, свободное от квадратов обладает замечательным свойством - его можно равномерно разделить на любое количество k подмножеств, причем значения 1,2,3,....k, обобщенной функции Мёбиуса будут распределены равномерно по множеству натуральных чисел, свободному от квадратов. Можно показать, что это невозможно для конечных множеств. И, следовательно ножество натуральных чисел, свободное от квадратов бесконечно из чего следует и бесконечность множества натуральных чисел. Т.е. и множество N можно равномерно разделить на произвольное целое количество k групп, например по остатку от деления по модулю k. Далее можно сопоставлять подмножества натурального ряда и подмножества натурального ряда свободного от квадратов. Их разностью будет множество натуральных, содержащих в своей факторизации квадраты. Т.е. это дает инструмент, для разбиения множества, содержащего квадраты на произвольное количество k подмножеств.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 16:33 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще раз уточним задачу, поправьте меня, если я не прав:
мы исключаем из рассмотрения те натуральные числа, которых в своем каноническом разложении имеют факторы, встречающиеся более одного раза
Также исключаем квадраты
Далее берем количество факторов в каноническом разложении, делим по модулю на два, и в зависимости от того, какой получаем остато - ноль или единицу, наращиваем один из двух соответствующих счетчиков
То же самое по модулю 3, только там уже будет три счетчика, а не два
Я взял диапазон до миллиона
У меня навскидку получилось следующее
Для k=2
{0: 374085, 1: 374443}
Для k=3
{0: 272893, 1: 207175, 2: 268460}
Для k=4
{0: 128626, 1: 102970, 2: 245459, 3: 271473}
Для k=5
{0: 24429, 1: 79969, 2: 244039, 3: 271465, 4: 128626}
Для k=6
{0: 1428, 1: 78549, 2: 244031, 3: 271465, 4: 128626, 5: 24429}
Для k=7
{0: 8, 1: 78541, 2: 244031, 3: 271465, 4: 128626, 5: 24429, 6: 1428}
Для k=8
{1: 78541, 2: 244031, 3: 271465, 4: 128626, 5: 24429, 6: 1428, 7: 8}
Для k=9
{1: 78541, 2: 244031, 3: 271465, 4: 128626, 5: 24429, 6: 1428, 7: 8}


Последний раз редактировалось s_e_r_g 14 фев 2016, 17:09, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю s_e_r_g "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 16:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, Вы всё правильно поняли. При увеличении диапазона эти значения должны приближаться друг к другу. Только в итоге должно оцениваться не сами эти значения, а их отклонения от теоритической величины равномерного распределения.

Т.е. нужно показать, что при стремлении N->\infty, попарная разность между этими значениями стремиться к аналогичной , теоретически рассчитанной для равномерного распределения величине по определенному закону. Т.е. что приведенное распределение является равномерным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 17:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g
Не могли бы Вы вывести значения для k=3 в виде таблицы с диапазонами 10^n?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 17:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
10 {1: 5, 2: 2}
100 {0: 5, 1: 28, 2: 38}
1000 {0: 174, 1: 193, 2: 378}
10000 {0: 2433, 1: 1784, 2: 3267}
100000 {0: 26732, 1: 19162, 2: 28954}
1000000 {0: 272893, 1: 207175, 2: 268459}
{0: 272893, 1: 207175, 2: 268460}

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю s_e_r_g "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 17:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из представленной Вами таблицы видно, что при увеличении N, разность между максимально различающимися значениями в диапазоне , отнесенная к величине диапазона N уменьшается, т.е.:

(38-5)/100=0,33
(378-174)/1000=0,204
(3267-1784)/10000=0,1483
(28954-19162)/100000=0,09792
(272893-207175)/1000000=0,065718,

На бесконечности эта величина должна стать равной 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 18:24 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему исключаются квадраты ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 18:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
s_e_r_g писал(а):
Почему исключаются квадраты ?


Это подмножество ряда, в котором не может быть простых чисел по определению.

Далее, оставшееся множество разбивается на 2 подмножества, в одном из которых также нет простых, а во втором содержатся все простые. Эти подмножества обладают некоторыми свойствами.

s_e_r_g
Не может ли быть ошибки в последнем диапазоне Ваших расчетов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 18:58 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
13 дек 2015, 17:51
Сообщений: 952
Cпасибо сказано: 154
Спасибо получено:
150 раз в 135 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Из представленной Вами таблицы видно, что при увеличении N, разность между максимально различающимися значениями в диапазоне , отнесенная к величине диапазона N уменьшается, т.е.:

На бесконечности эта величина должна стать равной 0.

Отношение максимума к величине диапазона уменьшается. Какой предел отношения на бесконечности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Гиперобобщение гипотезы Римана
СообщениеДобавлено: 14 фев 2016, 19:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2016, 15:28
Сообщений: 225
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
26 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
s_e_r_g
Не может ли быть ошибки в последнем диапазоне Ваших расчетов?


Я не уверен на 100 процентов, но закономерность для k=3 прослеживается и далее:

1000000 {0: 272893, 1: 207175, 2: 268459}
2000000 {0: 546242, 1: 422225, 2: 528618}
3000000 {0: 818946, 1: 639873, 2: 786786}
4000000 {0: 1091391, 1: 858916, 2: 1043859}
5000000 {0: 1363805, 1: 1078944, 2: 1299935}
6000000 {0: 1635522, 1: 1299945, 2: 1555751}
7000000 {0: 1907379, 1: 1521594, 2: 1810795}
8000000 {0: 2179076, 1: 1743607, 2: 2065597}
9000000 {0: 2450485, 1: 1966223, 2: 2320116}
10000000 {0: 2721481, 1: 2189356, 2: 2574550}


Еще одно уточнение:
если в каноническом разложении числа хотя бы один фактор имеет степень, большую единицы, то число исключается
Или хотя бы один фактор ровно во второй степени, и тогда число исключается ?


Последний раз редактировалось s_e_r_g 14 фев 2016, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю s_e_r_g "Спасибо" сказали:
ivashenko
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.  Страница 1 из 6 [ Сообщений: 53 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Майкл Атья заявил о доказательстве гипотезы Римана

в форуме Объявления участников Форума

Andy

0

264

27 сен 2018, 11:54

Гипотезы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

TeorVer

19

725

12 дек 2015, 04:30

Гипотезы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

TeorVer

10

533

28 дек 2015, 21:09

Сформулировать гипотезы

в форуме Теория вероятностей

tgka

2

669

13 ноя 2014, 23:52

Проверка гипотезы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Dasha8547

0

268

29 окт 2017, 18:21

Проверка статистической гипотезы

в форуме Теория вероятностей

Kusnecc

3

200

10 май 2020, 16:01

Доказательство гипотезы Коллатца

в форуме Размышления по поводу и без

met

3

553

29 янв 2017, 11:57

Доказательство гипотезы Била

в форуме Палата №6

ALOKIN

7

255

12 июл 2021, 09:46

Проверка правильности гипотезы

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Knyazhe

4

321

15 дек 2019, 18:17

Условная вероятность. Гипотезы

в форуме Теория вероятностей

mad_math

35

768

11 авг 2023, 09:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved