Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Произведение цифр заданного числа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=4555
Страница 1 из 1

Автор:  Minotaur [ 22 мар 2011, 05:45 ]
Заголовок сообщения:  Произведение цифр заданного числа

Приветствую!

При попытке вникнуть вот в эту задачу, возник у меня вопрос: а возможно ли вообще строго математически описать произведение цифр заданного натурального числа? Пусть задано натуральное число [math]N[/math], тогда произведение его цифр:

[math]\begin{aligned} P&=\prod\limits_{n=1}^{\left\lfloor\mathop{\rm lg}N\right\rfloor+1}\left\lfloor10\left\{\frac{N}{10^n}\right\}\right\rfloor=\prod\limits_{n=1}^{\left\lfloor\mathop{\rm lg}N\right\rfloor+1}\left\lfloor10\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\frac{2\pi kN}{10^n}}{k}\right)\right\rfloor=\\[2pt] &=\prod\limits_{n=1}^{\left\lfloor\mathop{\rm lg}N\right\rfloor+1}\left\lfloor5-\frac{10}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\frac{2\pi kN}{10^n}}{k}\right\rfloor=\prod\limits_{n=1}^{\left\lfloor\mathop{\rm lg}N\right\rfloor+1}\left(5-\left\lceil\frac{10}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\frac{2\pi kN}{10^n}}{k}\right\rceil\right)=\cdots\end{aligned}[/math]


Что бы такого придумать дальше?
Спасибо.

Автор:  Infant23 [ 22 мар 2011, 19:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Произведение цифр заданного числа

Я размышлял так:
[math]\left\{ \begin{array}{l}
\prod\limits_{i = 0}^n {{{\mathop a\limits^N }_i}} = \sum\limits_{j = 0}^m {{{10}^j} \cdot {{\mathop a\limits^M }_j}} \\
\prod\limits_{j = 0}^m {{{\mathop a\limits^M }_j}} = 5 \cdot \sum\limits_{i = 0}^n {{{10}^i} \cdot {{\mathop a\limits^N }_i}} \\
\end{array} \right\}[/math]
, где [math]{{{\mathop a\limits^N }_i}}[/math] - i-ая цифра числа N, и [math]{{{\mathop a\limits^M }_j}}[/math] - j-ая цифра числа M. Потом, исходя из того, что M делится на 5, его последняя цифра - 5
[math]\left\{ \begin{array}{l}
\prod\limits_{i = 0}^n {{{\mathop a\limits^N }_i}} = \sum\limits_{j = 1}^m {{{10}^j} \cdot {{\mathop a\limits^M }_j} + 5} \\
\frac{{\prod\limits_{j = 0}^m {{{\mathop a\limits^M }_j}} }}{5} = \sum\limits_{i = 0}^n {{{10}^i} \cdot {{\mathop a\limits^N }_i}} \\
\end{array} \right\}[/math]
или 0. Значит N делится на 5 или 10, отсюда его последняя цифра 5 или 0. Потом следующий круг. M делится на 25 или на 50, его последние цифры: 00, 25, 50 или 75 и т.д. Но запутался и бросил ((

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/