Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Функция Эйлера
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=43468
Страница 1 из 1

Автор:  nicat [ 21 сен 2015, 07:58 ]
Заголовок сообщения:  Функция Эйлера

Пусть n [math]\in N[/math] , [math]\varphi \left( n \right)[/math]- функция Эйлера и [math]\sigma \left( n \right)[/math] -арифметическая функция которое образует сумма натуральных делителей.Докажите что,
Изображение

Автор:  swan [ 21 сен 2015, 08:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

Проверить для случая, когда [math]n[/math]- а) простое, б) степень простого, а дальше воспользоваться мультипликативностью обоих функций.

Автор:  vorvalm [ 21 сен 2015, 18:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

nicat писал(а):
[math]\sigma \left( n \right)[/math] -арифметическая функция которое образует сумма натуральных делителей.

Поясните это выражение.

Автор:  nicat [ 21 сен 2015, 21:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

:)

Автор:  vorvalm [ 21 сен 2015, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

vorvalm писал(а):
nicat писал(а):
[math]\sigma \left( n \right)[/math] -арифметическая функция которое образует сумма натуральных делителей.

Поясните это выражение.

Автор:  swan [ 21 сен 2015, 23:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function

Автор:  Shadows [ 22 сен 2015, 07:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

Если в каноническом виде [math]n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}[/math], то

[math]\frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2}=\left(1-\frac{1}{p_1^{a_1+1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_2^{a_2+1}}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_k^{a_k+1}}\right)[/math]

и с верхним пределом проблем нет, а вот с нижним...пока что так:

[math]\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_n^2}\right)>\frac 3 4\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\right)=\frac 3 4 \cdot \frac{\pi}{4}[/math]

например, хотя не нравится мне использование последнего равенства.

Автор:  Shadows [ 22 сен 2015, 08:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функция Эйлера

Конечно, для задачи достаточно

[math]\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_n^2}\right) >\prod_{k=2}^{\infty}\frac{k^2-1}{k^2}=\frac 1 2\cdot \frac 3 2\cdot \frac 2 3 \cdot\frac 4 3\cdot \frac 3 4 \cdot\frac 5 4 \cdots=\frac 1 2[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/