Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 07:58 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 дек 2013, 20:43
Сообщений: 486
Cпасибо сказано: 320
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть n [math]\in N[/math] , [math]\varphi \left( n \right)[/math]- функция Эйлера и [math]\sigma \left( n \right)[/math] -арифметическая функция которое образует сумма натуральных делителей.Докажите что,
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 08:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5047
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1079 раз в 982 сообщениях
Очков репутации: 227

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверить для случая, когда [math]n[/math]- а) простое, б) степень простого, а дальше воспользоваться мультипликативностью обоих функций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 18:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3334
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
470 раз в 435 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nicat писал(а):
[math]\sigma \left( n \right)[/math] -арифметическая функция которое образует сумма натуральных делителей.

Поясните это выражение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 21:13 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 дек 2013, 20:43
Сообщений: 486
Cпасибо сказано: 320
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 22:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3334
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
470 раз в 435 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
nicat писал(а):
[math]\sigma \left( n \right)[/math] -арифметическая функция которое образует сумма натуральных делителей.

Поясните это выражение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 23:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5047
Cпасибо сказано: 80
Спасибо получено:
1079 раз в 982 сообщениях
Очков репутации: 227

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 22 сен 2015, 07:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1157
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
458 раз в 362 сообщениях
Очков репутации: 143

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если в каноническом виде [math]n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}[/math], то

[math]\frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2}=\left(1-\frac{1}{p_1^{a_1+1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_2^{a_2+1}}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{p_k^{a_k+1}}\right)[/math]

и с верхним пределом проблем нет, а вот с нижним...пока что так:

[math]\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_n^2}\right)>\frac 3 4\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\right)=\frac 3 4 \cdot \frac{\pi}{4}[/math]

например, хотя не нравится мне использование последнего равенства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Эйлера
СообщениеДобавлено: 22 сен 2015, 08:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1157
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
458 раз в 362 сообщениях
Очков репутации: 143

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конечно, для задачи достаточно

[math]\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p_n^2}\right) >\prod_{k=2}^{\infty}\frac{k^2-1}{k^2}=\frac 1 2\cdot \frac 3 2\cdot \frac 2 3 \cdot\frac 4 3\cdot \frac 3 4 \cdot\frac 5 4 \cdots=\frac 1 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
nicat
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функция Эйлера

в форуме Теория чисел

Vadim LOL

3

636

08 авг 2013, 18:58

Re: Функция Эйлера

в форуме Размышления по поводу и без

vorvalm

32

660

23 июн 2019, 15:19

Функция Эйлера

в форуме Размышления по поводу и без

ammo77

7

132

18 июл 2019, 17:16

Функция Эйлера

в форуме Теория чисел

demigod324

9

558

12 янв 2014, 12:04

Функция Эйлера

в форуме Палата №6

ammo77

214

3092

19 май 2019, 13:53

Функция Эйлера

в форуме Теория чисел

AndreyStepanenko1234

1

181

23 ноя 2017, 17:54

Функция Эйлера

в форуме Теория чисел

AndreyStepanenko1234

3

284

23 ноя 2017, 16:34

Функция Эйлера и теорема 120

в форуме Теория чисел

afraumar

3

435

02 сен 2013, 15:00

Функция Эйлера. Доказать свойство

в форуме Теория чисел

nurakhmetov

1

169

06 дек 2018, 18:40

Решить уравнение, функция Эйлера

в форуме Теория чисел

Celestia

5

1479

03 мар 2016, 02:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved