Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Точный квадрат
СообщениеДобавлено: 12 авг 2015, 15:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 июн 2015, 13:20
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти все натуральные числа [math]n[/math] , такие, что число [math]n^2+77n[/math] является точным квадратом натурального числа

Я нашла такие решения: [math]n=4, n=1444[/math].
Рассуждала так:
[math]n^2+77n=(n+77)\cdot n[/math]
1 случай: оба множителя могут быть точными квадратами.
[math]n=x^2[/math]
[math]n+77=y^2[/math]
[math]x^2+77=y^2[/math]
[math](y-x)(y+x)=77[/math]
А дальше несложно.

А вот как быть со [math]2[/math] случаем, когда оба множителя не являются точными квадратами?


Только просьба с ответом присылать объяснение. заранее благодарю! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точный квадрат
СообщениеДобавлено: 12 авг 2015, 16:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда они имеют общий множитель, вариантов которого не очень много.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Nastya Way
 Заголовок сообщения: Re: Точный квадрат
СообщениеДобавлено: 12 авг 2015, 17:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй случай.

[math]x^2+77x=y^2[/math]
[math]y^2-x^2=77x[/math]
[math](y+x)(y-x)=7\cdot 11\cdot x[/math]

При натуральных [math]x,\;y[/math] решений нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точный квадрат
СообщениеДобавлено: 12 авг 2015, 18:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это "решение" - явная лажа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точный квадрат
СообщениеДобавлено: 12 авг 2015, 21:11 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 19:25
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nastya Way писал(а):
Найти все натуральные числа n , такие, что число n^2+77n является точным квадратом натурального числа

[math]n(n+77)=y^2[/math]
[math](2n+77)^2-77^2=(2y)^2[/math]
[math]77^2=1\cdot 7\cdot 7\cdot 11\cdot 11=(2n+77)^2-(2y)^2[/math]
Знаете как представить произведение в виде разности квадратов? Тогда всё в Ваших руках.
Уравнение [math]xy=z^2[/math] Серпинский рассматривает: [math]x=ab^2; y=ac^2; z=abc[/math], только оно здесь лишнее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andrey A "Спасибо" сказали:
radix
 Заголовок сообщения: Re: Точный квадрат
СообщениеДобавлено: 31 авг 2015, 22:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 авг 2015, 21:26
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nastya Way писал(а):
Найти все натуральные числа [math]n[/math] , такие, что число [math]{n^2} + 77n[/math] является точным квадратом натурального числа


Рассмотрим уравнение [math]{n^2} + 77n = {k^2};\,\,n,k \in \mathbb{N}[/math] как квадратное [math]{n^2} + 77n - {k^2} = 0[/math] относительно [math]n[/math]. Для того, чтобы оно имело решения в натуральных числах, дискриминант должен быть точным квадратом. Следовательно [math]{77^2} + 4{k^2} = {t^2} \Leftrightarrow (t - 2k)(t + 2k) = {(7 \cdot 11)^2}[/math]. Предположим, что [math]a[/math] и [math]b[/math] являются первым и вторым множителем левой части уравнения. Составив систему [math]\left\{\!\begin{aligned}& t-2k=a \\& t+2k=b \end{aligned}\right.[/math] мы замечаем, что [math]a < b[/math]. Тем самым мы ограничим кол-во рассматриваемых случаев разложения [math]{77^2} = 5929[/math] на два множителя. Нетрудно представить [math]5929[/math] в канонической форме [math]5929 = {7^2} \cdot {11^2}[/math], откуда получаем [math]9[/math] делителей: [math]{1,7,11,49,77,121,539,847,5929}[/math]. С учетом того, что первый множитель заведомо меньше второго возможны [math]4[/math] случая:

[math]\left\{\!\begin{aligned}& t-2k=1 \\& t+2k=5929 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& k=1482 \\& n=1444 \end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& t-2k=7 \\& t+2k=847 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& k=210 \\& n=175 \end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& t-2k=11 \\& t+2k=539 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& k=132 \\& n=99 \end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& t-2k=49 \\& t+2k=121 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& k=18 \\& n=4 \end{aligned}\right.[/math]

Ответ: [math]n = \{ 4,99,175,1444\}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kerberos "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Точный квадрат

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Nastya Way

2

701

29 сен 2015, 16:11

Точный квадрат, отличительный признак

в форуме Размышления по поводу и без

3axap

116

2020

16 окт 2019, 12:02

Докажите, что Таня не сможет получить точный квадрат

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

2

158

05 сен 2023, 23:11

Полный и точный дифференциалы

в форуме Дифференциальное исчисление

lc2

3

417

26 авг 2019, 10:39

Точный верхний предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

n-0-0-b

5

377

08 ноя 2014, 19:32

Точный метод и ряд, расхождения при построение графика

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Sawva

0

203

19 дек 2018, 14:20

Как посчитать точный возраст, лет, месяцев, дней?

в форуме Алгебра

RX200

0

34

06 фев 2024, 07:18

Какой из методов интегрирования наиболее точный и почему?

в форуме Численные методы

sfanter

4

717

10 апр 2017, 20:24

Построить точный доверительный интервал с помощью оценки

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

dmitry0406

10

496

01 июн 2018, 14:41

Квадрат

в форуме Геометрия

FoReVer_17

1

540

05 дек 2014, 21:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved