Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 15:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 июл 2015, 15:18
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток! Столкнулся с задачкой и, посидев и подумав, понял, что уже почти все забыл из ТЧ...

Задача. Для каких натуральных N число 22N+5 будет полным квадратом натурального числа?


Некоторые частные решения находятся быстро: 2, 10, 38, 62 и т.п.
Но складывается ощущение, что решений должно быть счетное множество, описываемое какой-нибудь достаточно простой формулкой, каким-нибудь квадратичным полиномом, скорее всего.

Был бы признателен увидеть решение данной задачки. А если еще и ссылку дадите на какую-нибудь толковую книжку с методами решения подобных задачек и примерами, то будет совсем замечательно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 16:46 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не зная теории чисел, могу предложить воспользоваться такими свойствами квадратов:
1) они не могут заканчиваться нечётным количеством нулей;
2) они не могут заканчиваться на цифры [math]2,~3,~7,~8[/math];
3) они либо делятся на [math]4,[/math] либо при делении на [math]8[/math] дают остаток [math]1[/math];
4) они либо делятся на [math]9,[/math] либо при делении на [math]3[/math] дают остаток [math]1.[/math]

Знатоки теории чисел подскажут Вам более радикальные методы. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 16:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2 серии: [math]N=22k^2 \pm 14k+2[/math]

Как можно получить?
[math]22N+5=m^2[/math]
Решаем сравнение [math]x^2 \equiv 5 \pmod {22}[/math]
[math]x= \pm7[/math]

Соответственно, [math]m=22k+7[/math] или [math]m=22k-7[/math]

[math](22k\pm 7)^2=22(22k^2 \pm 14k+2)+5[/math]

А литературу - можно с Бухштаба начать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 18:39 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, а без сравнений, которые входят только в программу профильного обучения математике, такую задачу не решить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 18:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обычным перебором. Какой остаток при делении на [math]22[/math] должно давать [math]m[/math], чтобы квадрат давал остаток [math]5[/math]?
Сразу откидываем четные, остается проверить всего 11 чисел. Причем, если учесть, что квадрат чисел [math]x[/math] и [math]-x[/math] дает одинаковый остаток - надо проверить 6 чисел: [math]1,3,5,7,9,11[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 30 июл 2015, 20:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эта задача легко решается индексированием сравнения

[math]x^2\equiv 5\pmod {22}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2015, 09:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 июл 2015, 15:18
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
[math]N=22k^2 \pm 14k+2[/math]

Спасибо! Однако, это только половина решений. :)

[math]22N+5=x^2[/math]
[math]x=22m+k, 0<=k<22[/math]
[math](22m)^2+44mk+k^2 = 22n+5[/math]
[math]k^2=22q+5[/math]
[math]k=2p[/math] очевидным образом отбрасываем.
Остаются:
[math]k => k^2[/math]
1 1
3 9
5 25=22+3
7 49=44+5 (!)
9 81=66+15
11 121=110+11
13 169=154+15
15 225=220+5 (!)
17 289=286+3
19 361=352+9
21 441=440+1

Таким образом, имеем:
[math]x=22m\pm7 => n=22m^2\pm14+2[/math]
[math]x=22m\pm15 => n=22m^2\pm30m+10[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2015, 12:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
DwarfiG писал(а):
Спасибо! Однако, это только половина решений. :)

Приведите хотя бы одно, которое не входит в них.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2015, 12:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7555
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2746 раз в 2534 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Остатки [math]\pm 7[/math] и [math]\pm 15[/math] по модулю [math]22[/math] совпадают, так как [math]7+15=22[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 31 июл 2015, 18:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
DwarfiG писал(а):
swan писал(а):
[math]N=22k^2 \pm 14k+2[/math]

Спасибо! Однако, это только половина решений. :)

Таким образом, имеем:
[math]x=22m\pm7 => n=22m^2\pm14+2[/math]
[math]x=22m\pm15 => n=22m^2\pm30m+10[/math]

Эти формулы избыточны, т.к. повторяют одни и те же решения.
Здесь совершенно не нужны знаки (-).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение в натуральных числах

в форуме Алгебра

Bonaqua

41

1607

30 май 2015, 18:12

Решение уравнения в натуральных числах

в форуме Алгебра

Fireman

6

371

11 апр 2019, 23:09

В натуральных числах

в форуме Теория чисел

Andrey A

2

749

06 сен 2014, 15:00

Уравнение в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AGN

4

261

12 июн 2023, 01:35

Решить в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fireman

12

702

22 мар 2019, 15:48

Решить в натуральных числах

в форуме Алгебра

maked0n

3

566

24 мар 2014, 21:32

Решать в натуральных числах

в форуме Алгебра

mdauletiyarov

3

362

30 мар 2023, 17:08

Уравнение в натуральных числах

в форуме Теория чисел

Andy

9

540

22 окт 2017, 10:52

Румяное уравнение в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

430

19 июл 2017, 00:19

Уравнение в натуральных числах (Вінниця, 1991)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

6

140

12 фев 2024, 10:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved