Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
DwarfiG |
|
|
Задача. Для каких натуральных N число 22N+5 будет полным квадратом натурального числа? Некоторые частные решения находятся быстро: 2, 10, 38, 62 и т.п. Но складывается ощущение, что решений должно быть счетное множество, описываемое какой-нибудь достаточно простой формулкой, каким-нибудь квадратичным полиномом, скорее всего. Был бы признателен увидеть решение данной задачки. А если еще и ссылку дадите на какую-нибудь толковую книжку с методами решения подобных задачек и примерами, то будет совсем замечательно. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Не зная теории чисел, могу предложить воспользоваться такими свойствами квадратов:
1) они не могут заканчиваться нечётным количеством нулей; 2) они не могут заканчиваться на цифры [math]2,~3,~7,~8[/math]; 3) они либо делятся на [math]4,[/math] либо при делении на [math]8[/math] дают остаток [math]1[/math]; 4) они либо делятся на [math]9,[/math] либо при делении на [math]3[/math] дают остаток [math]1.[/math] Знатоки теории чисел подскажут Вам более радикальные методы. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
2 серии: [math]N=22k^2 \pm 14k+2[/math]
Как можно получить? [math]22N+5=m^2[/math] Решаем сравнение [math]x^2 \equiv 5 \pmod {22}[/math] [math]x= \pm7[/math] Соответственно, [math]m=22k+7[/math] или [math]m=22k-7[/math] [math](22k\pm 7)^2=22(22k^2 \pm 14k+2)+5[/math] А литературу - можно с Бухштаба начать. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
swan, а без сравнений, которые входят только в программу профильного обучения математике, такую задачу не решить?
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Обычным перебором. Какой остаток при делении на [math]22[/math] должно давать [math]m[/math], чтобы квадрат давал остаток [math]5[/math]?
Сразу откидываем четные, остается проверить всего 11 чисел. Причем, если учесть, что квадрат чисел [math]x[/math] и [math]-x[/math] дает одинаковый остаток - надо проверить 6 чисел: [math]1,3,5,7,9,11[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Andy |
||
vorvalm |
|
|
Эта задача легко решается индексированием сравнения
[math]x^2\equiv 5\pmod {22}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
DwarfiG |
|
|
swan писал(а): [math]N=22k^2 \pm 14k+2[/math] Спасибо! Однако, это только половина решений. [math]22N+5=x^2[/math] [math]x=22m+k, 0<=k<22[/math] [math](22m)^2+44mk+k^2 = 22n+5[/math] [math]k^2=22q+5[/math] [math]k=2p[/math] очевидным образом отбрасываем. Остаются: [math]k => k^2[/math] 1 1 3 9 5 25=22+3 7 49=44+5 (!) 9 81=66+15 11 121=110+11 13 169=154+15 15 225=220+5 (!) 17 289=286+3 19 361=352+9 21 441=440+1 Таким образом, имеем: [math]x=22m\pm7 => n=22m^2\pm14+2[/math] [math]x=22m\pm15 => n=22m^2\pm30m+10[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
DwarfiG писал(а): Спасибо! Однако, это только половина решений. Приведите хотя бы одно, которое не входит в них. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Остатки [math]\pm 7[/math] и [math]\pm 15[/math] по модулю [math]22[/math] совпадают, так как [math]7+15=22[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
DwarfiG писал(а): swan писал(а): [math]N=22k^2 \pm 14k+2[/math] Спасибо! Однако, это только половина решений. Таким образом, имеем: [math]x=22m\pm7 => n=22m^2\pm14+2[/math] [math]x=22m\pm15 => n=22m^2\pm30m+10[/math] Эти формулы избыточны, т.к. повторяют одни и те же решения. Здесь совершенно не нужны знаки (-). |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решение в натуральных числах
в форуме Алгебра |
41 |
1607 |
30 май 2015, 18:12 |
|
Решение уравнения в натуральных числах
в форуме Алгебра |
6 |
371 |
11 апр 2019, 23:09 |
|
В натуральных числах
в форуме Теория чисел |
2 |
749 |
06 сен 2014, 15:00 |
|
Уравнение в натуральных числах | 4 |
261 |
12 июн 2023, 01:35 |
|
Решить в натуральных числах | 12 |
702 |
22 мар 2019, 15:48 |
|
Решить в натуральных числах
в форуме Алгебра |
3 |
566 |
24 мар 2014, 21:32 |
|
Решать в натуральных числах
в форуме Алгебра |
3 |
362 |
30 мар 2023, 17:08 |
|
Уравнение в натуральных числах
в форуме Теория чисел |
9 |
540 |
22 окт 2017, 10:52 |
|
Румяное уравнение в натуральных числах | 3 |
430 |
19 июл 2017, 00:19 |
|
Уравнение в натуральных числах (Вінниця, 1991) | 6 |
140 |
12 фев 2024, 10:48 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |