Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство
СообщениеДобавлено: 22 июн 2015, 00:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2013, 11:29
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

хочу попросить вас проверить одно моё доказательство.

Задание. Допустим p - простое число такое что [math]p \equiv 3 \mod 4[/math]. Докажите что сравнение [math]x^{2} \equiv -1 \mod p[/math] не имеет решений.

Доказательство. Допустим что сравнение [math]x^{2} \equiv -1 \mod p[/math] имеет решение т. е. [math]\exists n \in \mathbb{Z} _{p} \setminus \left\{ \overline{0} \right\}[/math] такое что [math]n^{2} \equiv -1 \mod p[/math]. Так как р - простое число, то [math]\varphi (p)=\varphi (4k+3)=(4k+2)=2(2k+1)[/math]. По той причине что p со своими ненулевыми остатками между собой простые числа, то [math]\forall y \in \mathbb{Z} _{p} \setminus \left\{ \overline{0} \right\} \Rightarrow y^{2(2k+1)} \equiv 1 \mod p[/math]. Возведем обе стороны сравнение [math]n^{2} \equiv -1 \mod p[/math] в степень [math]2k+1[/math]: [math]n^{2(2k+1)} \equiv 1 \equiv (-1)^{2k+1} \equiv -1 \mod p[/math] т.е. [math]1 \equiv -1 \mod p \Rightarrow 2 \equiv 0 \mod p[/math]. Так как [math]2 \notin 3+4 \mathbb{Z}[/math], то получаем противоречие утверждению, что[math]\exists n \in \mathbb{Z} _{p} \setminus \left\{ \overline{0} \right\}[/math] такое что [math]n^{2} \equiv -1 \mod p[/math]. [math]\blacksquare[/math]

P.S. Когда n кратно на 6, то получаем тривиальное противоречие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
СообщениеДобавлено: 22 июн 2015, 02:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2013, 11:29
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
*P.S. Когда n кратно на p, то получаем тривиальное противоречие.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
СообщениеДобавлено: 22 июн 2015, 06:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Много лишних слов и также встречается что-то типа
lelius писал(а):
p со своими ненулевыми остатками между собой простые числа


Ваше размышление записывается так
[math]x^{2}\equiv -1 \mod p \Rightarrow x^{p-1}} \equiv (-1)^{\frac{p-1}2} \mod p \Rightarrow 1 \equiv -1 \mod p[/math]

Если решали для себя, то пойдет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
lelius
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
СообщениеДобавлено: 22 июн 2015, 07:37 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
31 май 2015, 18:44
Сообщений: 88
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
10 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lelius Правильно говорить: [math]a[/math] кратно на [math]b[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю DiMath "Спасибо" сказали:
lelius
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство

в форуме Тригонометрия

AlexeyNomer

1

340

16 ноя 2015, 15:42

Доказательство

в форуме Геометрия

dikarka2004

3

285

19 ноя 2022, 11:52

Доказательство

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

constantin01

0

210

10 апр 2020, 09:54

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

K_A

1

282

05 авг 2017, 19:22

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

K_A

8

616

14 июл 2017, 01:39

Доказательство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Mencer

2

462

03 мар 2015, 14:19

Хи(R2)=7 доказательство

в форуме Дискуссионные математические проблемы

ivashenko

0

196

30 окт 2020, 23:52

Доказательство

в форуме Геометрия

Zhenya2

1

366

09 апр 2015, 22:26

Доказательство

в форуме Дифференциальное исчисление

shepard23

3

361

20 апр 2015, 21:20

Доказательство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Pamanudjan

2

385

27 ноя 2016, 19:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved