Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 15 дек 2014, 20:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2014, 20:10
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста! Найдите остаток от деления чисел с подробным объяснением:
1) 23^277 на 9
2) 17^332 на 10
Хочется понять, как это делается. Заранее большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 15 дек 2014, 22:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы знакомы с таким представлением ваших задач?

[math]23^{277}\equiv x\pmod 9[/math]

[math]17^{332}\equiv x\pmod{10}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 16 дек 2014, 11:38 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
гуглите "малая теорема Ферма", "теорема Эйлера", "китайская теорема об остатках", "функция Кармайкла". :O:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 18 дек 2014, 16:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Допустим нам нужно найти остаток от деления числа [math]A^n[/math] на число [math]B[/math].
Остаток от деления [math]A[/math] на [math]B[/math] мы знаем. (Пусть он будет - [math]d[/math].) Т.е.:
[math]A=kB+d[/math]


Где [math]k[/math] - какое-то целое. (не важно - какое именно)

Задача свелась к нахождению остатка от деления такого выражения:
[math](kB+d)^n[/math]


Если возвести в степень сумму, то мы получим сумму степеней, в которой все слагаемые делятся на [math]B[/math], кроме одного слагаемого. И это слагаемое [math]d^n[/math]. Т.е., задача свелась к нахождению остатка от деления от степени остатка от деления. Т.е.
[math]A^nmod B=d^nmod B[/math]


Следовательно:
[math]23^{277}mod\ 9=5^{277}mod\ 9[/math]


Далее:
[math]5^{277}mod\ 9=(5\cdot 25^{138})mod\ 9=(5\cdot 7^{138})mod\ 9=(5\cdot 49^{69})mod\ 9=(5\cdot 4^{69})mod\ 9=(5\cdot 64^{23})mod\ 9=(5\cdot 1^{23})mod\ 9=5\ mod\ 9=5[/math]


ОТВЕТ: остаток от деления - 5
================================

На радиофаке (где я учился) теории чисел не было.
Поэтому я действую по прицыпу, изложенному в старом еврейском анекдоте:


-- Авраам, ты умеешь играть на скрипке?
(Пауза. Задумался.)
-- Никогда не пробовал. Наверно умею.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Masterov "Спасибо" сказали:
chachak
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 18 дек 2014, 17:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все гораздо проще, если знать теорию сравнений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 19 дек 2014, 17:26 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Все гораздо проще, если знать теорию сравнений.

Нуу... Иии...

Покажите?
Аль слабо?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 19 дек 2014, 18:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Masterov писал(а):
Нуу... Иии...

Покажите?
Аль слабо?

Не надо ёрничать. По теореме Эйлера при (a,m)=1

[math]a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m[/math] или [math]a^{k\varphi(m)}\equiv 1\pmod m[/math]

В данном случае 1) [math]\varphi(9)=6[/math] и 2) [math]\varphi(10)=4[/math]

А дальше, я думаю, понятно и школьнику.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 19 дек 2014, 18:14 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
[math]a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m[/math]
Мне эта запись непонятна.
Я много раз её в Википедии встречал,
но никто её определения не дает.

Я понимаю, что это значит:

[math]a\ mod\ m=d[/math]

Это я понимаю.
А та запись похожа на бред.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 19 дек 2014, 18:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Masterov писал(а):
vorvalm писал(а):
[math]a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m[/math]
Мне эта запись непонятна.
Я много раз её в Википедии встречал,
но никто её определения не дает.

Это азы теории чисел. Смотрите не Википедию, но А.А.Бухштаба. Это означает:

[math]a^{\varphi(m)}-1=km[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти остаток от деления числа в степени
СообщениеДобавлено: 19 дек 2014, 20:18 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2014, 15:39
Сообщений: 129
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Masterov писал(а):
vorvalm писал(а):
[math]a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m[/math]
Мне эта запись непонятна.
Я много раз её в Википедии встречал,
но никто её определения не дает.

Это азы теории чисел. Смотрите не Википедию, но А.А.Бухштаба. Это означает:

[math]a^{\varphi(m)}-1=km[/math]
1. Если в Википедии это понятие встречается, а нигде это не поясняется (в Википедии), то это - не правильно.

2. Я имею очень неплохую подготовку прикладного математика по специальности "нелинейная динамика". На форуме опубликована моя монография, где изложены три метода (два - авторские) анализа нелинейных моделей в интегральной форме записи (нелинейные интегро-дифференциальные уравнения). Я имею математическую подготовку, которой могут позавидовать многие физики, но даже я не знаю, что означает запись:
[math]a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m[/math]
Если я не понимаю этой записи, то (очевидно) её не понимают большинство физиков.
(Проверьте сами.)

Я это говорю к тому, что математики (и не только математики, но математики - особенно) выдумывают понятия и записи, которые понятны только им. А потом жонглируют ими и раздувают щёки, дескать - вот мы какие умные, нас даже не понимают.

Физики тоже так делают. (Выдумывают жаргонные словечки, а потом ими публично жонглируют.)

Всё это делает бездари, чтобы создать видимость научной деятельности.
На то, чтобы придумать что-то полезное людям, у них просто не хватает потенции учёного.


Последний раз редактировалось Masterov 19 дек 2014, 20:54, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 33 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти остаток от деления числа в степени в степени

в форуме Теория чисел

hejihe4135

7

1586

03 мар 2020, 16:51

Остаток от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

olgasikir

1

1913

31 окт 2016, 13:09

Остаток от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

Oliver

5

2255

31 май 2016, 22:25

Найти остаток от деления 10 в 10 степени на 67

в форуме Теория чисел

kapyshkina_darya

7

1186

11 ноя 2017, 12:00

Найти остаток от деления, если числа не взаимно простые

в форуме Теория чисел

jeliza_rosa

2

873

28 май 2016, 19:12

Узнать остаток от деления степени на число

в форуме Алгебра

Djwiccdeqd

10

808

30 дек 2018, 20:42

Найти остаток от числа в степени без mod

в форуме Теория чисел

Lana67

5

1010

24 ноя 2016, 16:03

Остаток от деления простого числа

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

7

820

19 окт 2019, 00:30

Остаток числа в степени по модулю

в форуме Теория чисел

nad27

2

593

10 дек 2019, 23:33

Нахождение остатка от деления числа в степени

в форуме Теория чисел

Fjord1

7

2012

21 апр 2015, 12:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved