Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 14:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 июн 2014, 14:15
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
19 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как доказать замкнутость алгебраическиx чисел относительно арифметическиx операций? Почти нет идей, кроме некоторыx глупыx, которые не получается до конца довести..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 16:14 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
09 июн 2014, 17:40
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно Вам помогут следующие соображения. Каждое алгебраическое число есть корень некоторого многочлена с целыми коэффициентами, которых легко получить из алгебраического числа обозначив его через Х и избавившись от иррациональности в полученном уравнении. Назовем такой целочисленный многочлен соответствующий алгебраическому числу. Для двух произвольных алгебраических чисел по коэффициентам соответствующих многочленов, постройте целочисленный многочлен корнем которого будет сумма исходных алгебраических чисел. Используйте для этого результант и т.д. Аналогично для произведений.

Подробности по e-mail: bronza_semen@mail.ru

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 16:20 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 июн 2014, 14:15
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
19 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
приxодила в голову такая идея, но не смог составить ни одного такого многочлена с целыми коэффициентами(или не смог доказать, что у ниx целые коэффициенты) :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 17:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
09 июн 2014, 17:40
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Алгебраическое число: 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math].
Избавьтесь от иррациональности в выражении: 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math]=х.
Вы это сделаете легко, это школьная задача. Полученное выражение легко преобразовать в многочлен с целочисленными коэффициентами - соответствующий многочлен. Несколько труднее избавиться от иррациональности в выражении: 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math]+[math]\sqrt{5}[/math]+[math]\sqrt{7}[/math]=х. Это не школьная задача. Большинство школьных учителей скажет, что это не возможно Однако, имеет место ТЕОРЕМА: От алгебраической иррациональности можно избавиться в любом алгебраическом уравнении. Для этого достаточно иррациональных операций над полем коэффициентов..
То есть задача об избавлении от алгебраической иррациональности(над произвольным полем) рационально разрешима.

Подробности по e-mail: bronza_semen@mail.ru

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 17:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 июн 2014, 14:15
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
19 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эта теорема эквивалентна задаче, чтобы полностью разбираться в вопросе xотелось бы знать её доказательство, которое явно не так уж и просто

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 21:44 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zxcqwe
Возьмите какой-нибудь учебник по алгебре, найдите там доказательство и разберите. Оно есть даже в Куроше в Курсе высшей алгебры.
Я вот идею помню: пусть [math]\alpha, \beta[/math] - алгебраические числа. Тогда [math]\alpha_1=\alpha, \alpha_2,...,\alpha_n[/math] - сопряженные к [math]\alpha[/math], [math]\beta_1=\beta, \beta_2,...,\beta_m[/math] - сопряженные к [math]\beta[/math]. Составим многочлен [math]\prod\limits_{j=1}^n\prod\limits_{k=1}^m(x-(\alpha_j+\beta_k))[/math] и докажем, что его коэффициенты - целые числа. Поиск доказательства последнего утверждения отдаю Вашему любопытству. :bravo:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 13 июн 2014, 22:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
09 июн 2014, 17:40
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказательство теоремы просто: пусть [math]\alpha[/math] - алгебраическое число, а [math]\boldsymbol{f}[/math](х)-канонический многочлен для [math]\alpha[/math], то есть [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math])=0. Пусть [math]\beta[/math] - алгебраическое число, а [math]\boldsymbol{g}[/math](х)-канонический многочлен для [math]\beta[/math], то есть [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\beta[/math])=0. Докажем:
1) [math]\alpha[/math]+[math]\beta[/math] - алгебраическое число. Построим для него канонический многочлен, обозначим [math]\alpha[/math]+[math]\beta[/math]=[math]\boldsymbol{t}[/math]. Каноническим многочленом для [math]\boldsymbol{t}[/math] будет результант по степеням [math]\alpha[/math] многочленов [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math]) и [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\boldsymbol{t}[/math]-[math]\alpha[/math]), то есть [math]\boldsymbol{t}[/math] удовлетворяет уравнение
[math]R{\alpha}[/math]([math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math]), [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\boldsymbol{t}[/math]-[math]\alpha[/math]))=0.
2) [math]\alpha[/math]-[math]\beta[/math]=[math]\boldsymbol{t}[/math] - алгебраическое число. Аналогично доказываем, что канонический многочлен для него [math]R{\alpha}[/math]([math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math]), [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\boldsymbol{t}[/math]+[math]\alpha[/math]))=0.
Аналогично доказывается, что произведение и частное алгебраических чисел - алгебраическое число, то есть для них строятся канонические многочлены.

Подробности по e-mail: bronza_semen@mail.ru

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Semen Bronza "Спасибо" сказали:
zxcqwe
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 14 июн 2014, 07:34 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Semen Bronza, можно сформулировать доказательство и без упоминания результанта, зачем человека пугать. Кроме того, можно было оставить ему возможность поискать доказательство самому. А впрочем, ему сейчас как раз проще самому поискать, чем читать про результант :D1

а что у Вас способ набора формул такой странный? :O:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 14 июн 2014, 15:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
09 июн 2014, 17:40
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sonic, Спасибо за замечание. Дать возможность найти доказательство самому спрашивающему, безусловно, педагогично.
Не ответите ли вы в чем заключается странность набора формул?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебраические числа
СообщениеДобавлено: 14 июн 2014, 17:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Semen Bronza писал(а):
в чем заключается странность набора формул?

Сравните, к примеру, Ваш набор 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math] с человечьим [math]1+\sqrt{2}+\sqrt{3}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Алгебраические структуры

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ASKOLD SEMIRAZOV

3

353

01 фев 2018, 01:55

Алгебраические структуры

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Mr_Pure

8

234

28 ноя 2022, 18:24

Алгебраические структуры #2

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Mr_Pure

4

245

02 дек 2022, 14:36

Алгебраические операторы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vsevolod_

4

278

26 апр 2020, 13:48

Алгебраические структуры

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Knyazhskiy

1

297

26 янв 2016, 17:31

Алгебраические структуры

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

VlaDIK

8

322

04 апр 2022, 21:30

Алгебраические структуры

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ASKOLD SEMIRAZOV

2

460

01 фев 2018, 18:45

Алгебраические структуры

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ASKOLD SEMIRAZOV

0

299

01 фев 2018, 02:02

Алгебраические структуры

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ASKOLD SEMIRAZOV

1

400

01 фев 2018, 02:09

Алгебраические структуры

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ASKOLD SEMIRAZOV

1

418

01 фев 2018, 01:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved