Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
zxcqwe |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Semen Bronza |
|
|
Возможно Вам помогут следующие соображения. Каждое алгебраическое число есть корень некоторого многочлена с целыми коэффициентами, которых легко получить из алгебраического числа обозначив его через Х и избавившись от иррациональности в полученном уравнении. Назовем такой целочисленный многочлен соответствующий алгебраическому числу. Для двух произвольных алгебраических чисел по коэффициентам соответствующих многочленов, постройте целочисленный многочлен корнем которого будет сумма исходных алгебраических чисел. Используйте для этого результант и т.д. Аналогично для произведений.
Подробности по e-mail: bronza_semen@mail.ru |
||
Вернуться к началу | ||
zxcqwe |
|
|
приxодила в голову такая идея, но не смог составить ни одного такого многочлена с целыми коэффициентами(или не смог доказать, что у ниx целые коэффициенты)
|
||
Вернуться к началу | ||
Semen Bronza |
|
|
Алгебраическое число: 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math].
Избавьтесь от иррациональности в выражении: 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math]=х. Вы это сделаете легко, это школьная задача. Полученное выражение легко преобразовать в многочлен с целочисленными коэффициентами - соответствующий многочлен. Несколько труднее избавиться от иррациональности в выражении: 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math]+[math]\sqrt{5}[/math]+[math]\sqrt{7}[/math]=х. Это не школьная задача. Большинство школьных учителей скажет, что это не возможно Однако, имеет место ТЕОРЕМА: От алгебраической иррациональности можно избавиться в любом алгебраическом уравнении. Для этого достаточно иррациональных операций над полем коэффициентов.. То есть задача об избавлении от алгебраической иррациональности(над произвольным полем) рационально разрешима. Подробности по e-mail: bronza_semen@mail.ru |
||
Вернуться к началу | ||
zxcqwe |
|
|
Эта теорема эквивалентна задаче, чтобы полностью разбираться в вопросе xотелось бы знать её доказательство, которое явно не так уж и просто
|
||
Вернуться к началу | ||
Sonic |
|
|
zxcqwe
Возьмите какой-нибудь учебник по алгебре, найдите там доказательство и разберите. Оно есть даже в Куроше в Курсе высшей алгебры. Я вот идею помню: пусть [math]\alpha, \beta[/math] - алгебраические числа. Тогда [math]\alpha_1=\alpha, \alpha_2,...,\alpha_n[/math] - сопряженные к [math]\alpha[/math], [math]\beta_1=\beta, \beta_2,...,\beta_m[/math] - сопряженные к [math]\beta[/math]. Составим многочлен [math]\prod\limits_{j=1}^n\prod\limits_{k=1}^m(x-(\alpha_j+\beta_k))[/math] и докажем, что его коэффициенты - целые числа. Поиск доказательства последнего утверждения отдаю Вашему любопытству. |
||
Вернуться к началу | ||
Semen Bronza |
|
|
Доказательство теоремы просто: пусть [math]\alpha[/math] - алгебраическое число, а [math]\boldsymbol{f}[/math](х)-канонический многочлен для [math]\alpha[/math], то есть [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math])=0. Пусть [math]\beta[/math] - алгебраическое число, а [math]\boldsymbol{g}[/math](х)-канонический многочлен для [math]\beta[/math], то есть [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\beta[/math])=0. Докажем:
1) [math]\alpha[/math]+[math]\beta[/math] - алгебраическое число. Построим для него канонический многочлен, обозначим [math]\alpha[/math]+[math]\beta[/math]=[math]\boldsymbol{t}[/math]. Каноническим многочленом для [math]\boldsymbol{t}[/math] будет результант по степеням [math]\alpha[/math] многочленов [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math]) и [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\boldsymbol{t}[/math]-[math]\alpha[/math]), то есть [math]\boldsymbol{t}[/math] удовлетворяет уравнение [math]R{\alpha}[/math]([math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math]), [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\boldsymbol{t}[/math]-[math]\alpha[/math]))=0. 2) [math]\alpha[/math]-[math]\beta[/math]=[math]\boldsymbol{t}[/math] - алгебраическое число. Аналогично доказываем, что канонический многочлен для него [math]R{\alpha}[/math]([math]\boldsymbol{f}[/math]([math]\alpha[/math]), [math]\boldsymbol{g}[/math]([math]\boldsymbol{t}[/math]+[math]\alpha[/math]))=0. Аналогично доказывается, что произведение и частное алгебраических чисел - алгебраическое число, то есть для них строятся канонические многочлены. Подробности по e-mail: bronza_semen@mail.ru |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Semen Bronza "Спасибо" сказали: zxcqwe |
||
Sonic |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Semen Bronza |
|
|
Sonic, Спасибо за замечание. Дать возможность найти доказательство самому спрашивающему, безусловно, педагогично.
Не ответите ли вы в чем заключается странность набора формул? |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Semen Bronza писал(а): в чем заключается странность набора формул? Сравните, к примеру, Ваш набор 1+[math]\sqrt{2}[/math]+[math]\sqrt{3}[/math] с человечьим [math]1+\sqrt{2}+\sqrt{3}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Алгебраические структуры | 3 |
353 |
01 фев 2018, 01:55 |
|
Алгебраические структуры | 8 |
234 |
28 ноя 2022, 18:24 |
|
Алгебраические структуры #2 | 4 |
245 |
02 дек 2022, 14:36 |
|
Алгебраические операторы | 4 |
278 |
26 апр 2020, 13:48 |
|
Алгебраические структуры
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
297 |
26 янв 2016, 17:31 |
|
Алгебраические структуры | 8 |
322 |
04 апр 2022, 21:30 |
|
Алгебраические структуры | 2 |
460 |
01 фев 2018, 18:45 |
|
Алгебраические структуры | 0 |
299 |
01 фев 2018, 02:02 |
|
Алгебраические структуры | 1 |
400 |
01 фев 2018, 02:09 |
|
Алгебраические структуры | 1 |
418 |
01 фев 2018, 01:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |