Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 02 фев 2013, 22:18 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решить уравнение в натуральных числах:
[math]{x^{x + y}}={y^{y - x}}[/math]
Подскажите пожалуйста, с чего начать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 02 фев 2013, 22:20 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Логарифмирование мне идей не дало :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 02 фев 2013, 23:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x=(2n+1)^{n} \quad y=(2n+1)^{n+1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 02 фев 2013, 23:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Идея [math]{x^{x + y}} = {y^{y - x}} \Leftrightarrow {\left( {xy} \right)^x} = {\left( {\frac{y}{x}} \right)^y} \Rightarrow y = kx,k \in \mathbb{N}[/math]
Ответ: [math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n - 1} \right)^{n - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n - 1} \right)^n} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 02 фев 2013, 23:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно, как с помощью приведенных выше формул можно получить решение: [math]x = 8,\,\,\,y = 32[/math]? :wink:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
erjoma, mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 03 фев 2013, 01:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Четные [math]x,y[/math]
[math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 03 фев 2013, 10:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первоначально решение выглядит так:[math]x=k^{ \frac{ k-1 }{ 2 } } \quad y=k^{ \frac{ k+1 }{ 2 } }[/math] положив [math]k=n^{2}[/math] получим [math]x=n^{n^{2}-1} \quad y=n^{n^{2}+1}[/math].В это решение входят как четные так и нечетные числа.Я же положил [math]k=2n+1[/math] откуда вышло [math]x=(2n+1)^{n} \quad y=(2n+1)^{n+1}[/math].Раскаиваюсь и обещаю,что впредь такого не будет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 03 фев 2013, 13:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Первоначально решение выглядит так:[math]x=k^{ \frac{ k-1 }{ 2 } } \quad y=k^{ \frac{ k+1 }{ 2 } }[/math] положив [math]k=n^{2}[/math] получим [math]x=n^{n^{2}-1} \quad y=n^{n^{2}+1}[/math].В это решение входят как четные так и нечетные числа.


При этом теряются решения, при которых [math]k[/math] нечетно, но не является полным квадратом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
andrei
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 03 фев 2013, 15:30 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то я немного запутался. После подсказки
erjoma писал(а):
[math]y = kx[/math]

я тоже пришел к
andrei писал(а):
[math]x=k^{\frac{k-1}{2}}\quad y=k^{\frac{k+1}{2}}[/math]

А что теперь с заменой? Отдельно для четных и нечетных чисел?
Для нечетных, например, [math]k = 2n + 1[/math], как предложил andrei, а для четных [math]k = 2n[/math]?
Тогда не совсем понимаю вот это
erjoma писал(а):
Четные [math]x,y[/math]
[math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить в натуральных числах
СообщениеДобавлено: 03 фев 2013, 16:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav писал(а):
Тогда не совсем понимаю вот это
erjoma писал(а):
Четные [math]x,y[/math]
[math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math]



[math]x = {k^{\frac{{k - 1}}{2}}},y = {k^{\frac{{k + 1}}{2}}}[/math]
Пусть [math]k = 2n[/math], тогда [math]x = \frac{{{{\left( {2n} \right)}^n}}}{{\sqrt {2n} }},y = {\left( {2n} \right)^n}\sqrt {2n}[/math]
Т.к. [math]x,y \in \mathbb{N}[/math], то [math]\sqrt {2n} \in \mathbb{N}[/math].
Так же стоит заметить, что [math]\sqrt {2n}[/math] является четным числом.
Т.е. [math]\sqrt {2n}=2n_1,n_1\in \mathbb{N}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
andrei, Sviatoslav
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Fireman

12

704

22 мар 2019, 15:48

В натуральных числах

в форуме Теория чисел

Andrey A

2

749

06 сен 2014, 15:00

Решать в натуральных числах

в форуме Алгебра

mdauletiyarov

3

363

30 мар 2023, 17:08

Уравнение в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

AGN

4

261

12 июн 2023, 01:35

Решение в натуральных числах

в форуме Теория чисел

DwarfiG

10

1018

30 июл 2015, 15:38

Уравнение в натуральных числах

в форуме Теория чисел

Andy

9

542

22 окт 2017, 10:52

Решение в натуральных числах

в форуме Алгебра

Bonaqua

41

1607

30 май 2015, 18:12

Решение уравнения в натуральных числах

в форуме Алгебра

Fireman

6

371

11 апр 2019, 23:09

Румяное уравнение в натуральных числах

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

3

430

19 июл 2017, 00:19

Уравнение в натуральных числах (Вінниця, 1991)

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

6

143

12 фев 2024, 10:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved