Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Sviatoslav |
|
|
[math]{x^{x + y}}={y^{y - x}}[/math] Подскажите пожалуйста, с чего начать? |
||
Вернуться к началу | ||
Sviatoslav |
|
|
Логарифмирование мне идей не дало
|
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
[math]x=(2n+1)^{n} \quad y=(2n+1)^{n+1}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: mad_math, Sviatoslav |
||
erjoma |
|
|
Идея [math]{x^{x + y}} = {y^{y - x}} \Leftrightarrow {\left( {xy} \right)^x} = {\left( {\frac{y}{x}} \right)^y} \Rightarrow y = kx,k \in \mathbb{N}[/math]
Ответ: [math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n - 1} \right)^{n - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n - 1} \right)^n} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: mad_math, Sviatoslav |
||
Uncle Fedor |
|
|
Интересно, как с помощью приведенных выше формул можно получить решение: [math]x = 8,\,\,\,y = 32[/math]?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: erjoma, mad_math, Sviatoslav |
||
erjoma |
|
|
Четные [math]x,y[/math]
[math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: mad_math, Sviatoslav |
||
andrei |
|
|
Первоначально решение выглядит так:[math]x=k^{ \frac{ k-1 }{ 2 } } \quad y=k^{ \frac{ k+1 }{ 2 } }[/math] положив [math]k=n^{2}[/math] получим [math]x=n^{n^{2}-1} \quad y=n^{n^{2}+1}[/math].В это решение входят как четные так и нечетные числа.Я же положил [math]k=2n+1[/math] откуда вышло [math]x=(2n+1)^{n} \quad y=(2n+1)^{n+1}[/math].Раскаиваюсь и обещаю,что впредь такого не будет.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: Sviatoslav |
||
erjoma |
|
|
andrei писал(а): Первоначально решение выглядит так:[math]x=k^{ \frac{ k-1 }{ 2 } } \quad y=k^{ \frac{ k+1 }{ 2 } }[/math] положив [math]k=n^{2}[/math] получим [math]x=n^{n^{2}-1} \quad y=n^{n^{2}+1}[/math].В это решение входят как четные так и нечетные числа. При этом теряются решения, при которых [math]k[/math] нечетно, но не является полным квадратом. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: andrei |
||
Sviatoslav |
|
|
Что-то я немного запутался. После подсказки
erjoma писал(а): [math]y = kx[/math] я тоже пришел к andrei писал(а): [math]x=k^{\frac{k-1}{2}}\quad y=k^{\frac{k+1}{2}}[/math] А что теперь с заменой? Отдельно для четных и нечетных чисел? Для нечетных, например, [math]k = 2n + 1[/math], как предложил andrei, а для четных [math]k = 2n[/math]? Тогда не совсем понимаю вот это erjoma писал(а): Четные [math]x,y[/math] [math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Sviatoslav писал(а): Тогда не совсем понимаю вот это erjoma писал(а): Четные [math]x,y[/math] [math]\left\{ \begin{gathered} x = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} - 1}} \hfill \\ y = {\left( {2n} \right)^{4{n^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,n \in \mathbb{N}[/math] [math]x = {k^{\frac{{k - 1}}{2}}},y = {k^{\frac{{k + 1}}{2}}}[/math] Пусть [math]k = 2n[/math], тогда [math]x = \frac{{{{\left( {2n} \right)}^n}}}{{\sqrt {2n} }},y = {\left( {2n} \right)^n}\sqrt {2n}[/math] Т.к. [math]x,y \in \mathbb{N}[/math], то [math]\sqrt {2n} \in \mathbb{N}[/math]. Так же стоит заметить, что [math]\sqrt {2n}[/math] является четным числом. Т.е. [math]\sqrt {2n}=2n_1,n_1\in \mathbb{N}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: andrei, Sviatoslav |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решить в натуральных числах | 12 |
704 |
22 мар 2019, 15:48 |
|
В натуральных числах
в форуме Теория чисел |
2 |
749 |
06 сен 2014, 15:00 |
|
Решать в натуральных числах
в форуме Алгебра |
3 |
363 |
30 мар 2023, 17:08 |
|
Уравнение в натуральных числах | 4 |
261 |
12 июн 2023, 01:35 |
|
Решение в натуральных числах
в форуме Теория чисел |
10 |
1018 |
30 июл 2015, 15:38 |
|
Уравнение в натуральных числах
в форуме Теория чисел |
9 |
542 |
22 окт 2017, 10:52 |
|
Решение в натуральных числах
в форуме Алгебра |
41 |
1607 |
30 май 2015, 18:12 |
|
Решение уравнения в натуральных числах
в форуме Алгебра |
6 |
371 |
11 апр 2019, 23:09 |
|
Румяное уравнение в натуральных числах | 3 |
430 |
19 июл 2017, 00:19 |
|
Уравнение в натуральных числах (Вінниця, 1991) | 6 |
143 |
12 фев 2024, 10:48 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |