Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 11 окт 2012, 21:51 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано уравнение:
[math]{x^3} + {y^3} + {z^3} + {t^3} = 1999[/math]
Нужно доказать, что оно имеет бесконечно много целочисленных решений.
Честно говоря, когда я его увидел впервые, подумал, что решений оно вообще не имеет. А оказалось вот как...
Пожалуйста, подскажите, с чего начать? Задание интересное, хочется понять, какими методами решается.
Я вижу только формулу суммы кубов, но этого явно недостаточно.
Натолкните на решение, пожалуйста :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 06:37 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте для начала подстановки, дающие более простые уравнения от одной или двух переменных.
Например: [math]x=u-1, y=u+1, z=-u, t=u[/math] дает [math]x^3+y^3+z^3+t^3=6u[/math]. Это не дает ответ, но можно что-то аналогичное поискать (можно попытаться в Серпинского заглянуть)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 09:42 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sonic писал(а):
Попробуйте для начала подстановки, дающие более простые уравнения от одной или двух переменных.
Например: [math]x=u-1, y=u+1, z=-u, t=u[/math] дает [math]x^3+y^3+z^3+t^3=6u[/math]. Это не дает ответ, но можно что-то аналогичное поискать (можно попытаться в Серпинского заглянуть)
Это я написал, как одно решение искать. А его потребуется найти, видимо.
Далее, если [math]x=P_1(u), y=P_2(u),...[/math], где [math]P_j[/math] - многочлены степени не выше [math]d[/math], то можно попытаться поставить их в общем виде и найти коэффициенты чисто алгебраически (хотя здесь скорее всего так, но в общем случае - не факт. Например, у уравнения Пелля так не получится). Свободные члены многочленов придется брать из некоторого решения.
Чаще всего при решении диофантова уравнения с решениями, даже в методе секущих, надо найти хотя бы одно частное решение. Это, обычно, сложно. Найдите пока частное решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 16:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подсказка №1.
Сделайте подстановку [math]x=u+10 \,\,\ y=-u+10 \,\,\ z=v-1 \,\,\ t=-v[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 20:26 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei, какая красивая замена. Получается квадратное уравнение относительно v, из которого можно найти даже несколько частных решений. Например, вот одно из них: [math]x = 11[/math], [math]y = 9[/math], [math]z = 4[/math], [math]t = - 5[/math].
Если я правильно понял, то Sonic говорил, что на основе частного решения можно попытаться составить общее. Но я не совсем понимаю, как.
Можете теперь на счет этого подсказать, пожалуйста?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 20:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я завтра напишу :) Поздно уже,а писать много.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 20:37 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое :) У меня есть еще один вопрос по этому уравнению, тогда тоже завтра задам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 12 окт 2012, 20:46 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 сен 2011, 12:29
Сообщений: 760
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
221 раз в 185 сообщениях
Очков репутации: 89

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav писал(а):
Если я правильно понял, то Sonic говорил, что на основе частного решения можно попытаться составить общее. Но я не совсем понимаю, как.
Можете теперь на счет этого подсказать, пожалуйста?
Ну вот самый простой пример:
Пусть нам надо найти бесконечное множество решений уравнения [math]ax+by=1[/math]. Пусть мы знаем частное решение [math]x_0,y_0[/math]. Ищем параметризованное семейство решений в виде [math]x=x_0+Au, y=y_0+Bu[/math], где [math]A,B[/math] - неизвестные константы (т.е. мы выбрали [math]x=P(u), y=Q(u)[/math], где [math]\deg P = \deg Q=1[/math]. Как угадывать степень многочленов я не знаю. Ну в данном случае я просто знаю понятно откуда :)). Подставляем, получаем [math]Aa+Bb=0[/math], тогда можем выбрать [math]A=-b, B=a[/math] - подставляем, получаем семейство решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 17:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я кратко.После подстановки получим следующее:
[math]x^{3}=(u+10)^{3}=u^{3}+30u^{2}+300u+1000[/math]
[math]y^{3}=(-u+10)^{3}=-u^{3}+30u^{2}-300u+1000[/math]
[math]z^{3}=(v-1){3}=v^{3}-3v^{2}+3v-1[/math]
[math]t^{3}=-v^{2}[/math]
Сложив всё это,получим
[math]60u^{2}=3v(v-1)[/math] или [math]20u^{2}=v(v-1)[/math] Окончательно преобразуем уравнение
[math](2v-1)^{2}-80u^{2}=1[/math]

На этом можно было бы и закончить,так как полученное уравнени Пелля давно и хорошо изучено и доказано,что оно имеет бесконечно много решений в целых числах.Но я пойду несколько по другому пути.
Не вдаваясь в подробности,приведу формулы решения в действительных числах
[math]u= \frac{ 2mn }{ m^{2}-80n^{2} } \,\,\ 2v-1= \frac{m^{2}+80n^{2} }{m^{2}-80n^{2} } \,\,\ \Rightarrow v= \frac{ m^{2} }{ m^{2}-80n^{2} }[/math]

Первые значения для [math]u_{1}[/math] и [math]v_{1}[/math] найдём при [math]m_{1}=9 \,\,\ n_{1}=1[/math] при этом значение выражения [math]m_{1}^{2}-80n_{1}^{2}=1[/math].Откуда [math]u_{1}=18 \,\,\ v_{1}=81[/math].
Заметим,что уравнение [math](2v-1)^{2}-80u^{2}=1[/math] имеет тот же вид,что и знаменатель [math]m^{2}-80n^{2}[/math] То есть,подставив [math]m_{2}=2v_{1}-1 \,\,\ n_{2}=u_{1}[/math] ,найдём целочисленные значения для [math]u_{2}[/math] и [math]v_{2}[/math] и т.д..
Осталось доказать,что этот процесс не циклический,что совсем просто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Диофантово уравнение на доказательство бесконечности решений
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 19:34 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо огромное, более менее разобрался :)
andrei писал(а):
Подсказка №1.
Сделайте подстановку [math]x=u+10 \,\,\ y=-u+10 \,\,\ z=v-1 \,\,\ t=-v[/math]

Скажите пожалуйста, как Вы получили такую замену? Почему, если [math]x = u + 10[/math], то [math]y = - u + 10[/math]?
И не подскажите ли, где можно обстоятельно почитать про решение уравнения этого Пелля? В Интернете есть много чего по этому уравнению, но все в общем сложном виде. Может, есть книжка или сайт, где более подробно объяснено?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство бесконечности простых чисел близнецов

в форуме Теория чисел

ammo77

21

1171

29 апр 2019, 21:44

Доказательство бесконечности ряда простых чисел вида 4n+3

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Mahler

2

273

29 май 2018, 13:32

Диофантово уравнение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nataly-Mak

584

12748

12 дек 2015, 00:03

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

5

127

10 ноя 2023, 22:39

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

EvgeniyD

4

392

25 фев 2020, 11:11

Диофантово уравнение

в форуме Алгебра

McMurphy

2

166

07 июн 2023, 14:41

Уравнение диофантово

в форуме Теория чисел

3axap

23

823

17 июн 2021, 11:02

Диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

bravo

10

2814

17 июл 2014, 22:39

Квадратное диофантово уравнение

в форуме Теория чисел

Claudia

13

856

11 июн 2018, 11:01

Диофантово уравнение в wolframalpha

в форуме Алгебра

argus

2

731

18 окт 2017, 01:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved