Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Sviatoslav |
|
|
[math]{x^3} + {y^3} + {z^3} + {t^3} = 1999[/math] Нужно доказать, что оно имеет бесконечно много целочисленных решений. Честно говоря, когда я его увидел впервые, подумал, что решений оно вообще не имеет. А оказалось вот как... Пожалуйста, подскажите, с чего начать? Задание интересное, хочется понять, какими методами решается. Я вижу только формулу суммы кубов, но этого явно недостаточно. Натолкните на решение, пожалуйста |
||
Вернуться к началу | ||
Sonic |
|
|
Попробуйте для начала подстановки, дающие более простые уравнения от одной или двух переменных.
Например: [math]x=u-1, y=u+1, z=-u, t=u[/math] дает [math]x^3+y^3+z^3+t^3=6u[/math]. Это не дает ответ, но можно что-то аналогичное поискать (можно попытаться в Серпинского заглянуть) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали: Sviatoslav |
||
Sonic |
|
|
Sonic писал(а): Попробуйте для начала подстановки, дающие более простые уравнения от одной или двух переменных. Это я написал, как одно решение искать. А его потребуется найти, видимо.Например: [math]x=u-1, y=u+1, z=-u, t=u[/math] дает [math]x^3+y^3+z^3+t^3=6u[/math]. Это не дает ответ, но можно что-то аналогичное поискать (можно попытаться в Серпинского заглянуть) Далее, если [math]x=P_1(u), y=P_2(u),...[/math], где [math]P_j[/math] - многочлены степени не выше [math]d[/math], то можно попытаться поставить их в общем виде и найти коэффициенты чисто алгебраически (хотя здесь скорее всего так, но в общем случае - не факт. Например, у уравнения Пелля так не получится). Свободные члены многочленов придется брать из некоторого решения. Чаще всего при решении диофантова уравнения с решениями, даже в методе секущих, надо найти хотя бы одно частное решение. Это, обычно, сложно. Найдите пока частное решение. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали: Alexdemath, Sviatoslav |
||
andrei |
|
|
Подсказка №1.
Сделайте подстановку [math]x=u+10 \,\,\ y=-u+10 \,\,\ z=v-1 \,\,\ t=-v[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: Sviatoslav |
||
Sviatoslav |
|
|
andrei, какая красивая замена. Получается квадратное уравнение относительно v, из которого можно найти даже несколько частных решений. Например, вот одно из них: [math]x = 11[/math], [math]y = 9[/math], [math]z = 4[/math], [math]t = - 5[/math].
Если я правильно понял, то Sonic говорил, что на основе частного решения можно попытаться составить общее. Но я не совсем понимаю, как. Можете теперь на счет этого подсказать, пожалуйста? |
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
Я завтра напишу Поздно уже,а писать много.
|
||
Вернуться к началу | ||
Sviatoslav |
|
|
Спасибо большое У меня есть еще один вопрос по этому уравнению, тогда тоже завтра задам.
|
||
Вернуться к началу | ||
Sonic |
|
|
Sviatoslav писал(а): Если я правильно понял, то Sonic говорил, что на основе частного решения можно попытаться составить общее. Но я не совсем понимаю, как. Ну вот самый простой пример:Можете теперь на счет этого подсказать, пожалуйста? Пусть нам надо найти бесконечное множество решений уравнения [math]ax+by=1[/math]. Пусть мы знаем частное решение [math]x_0,y_0[/math]. Ищем параметризованное семейство решений в виде [math]x=x_0+Au, y=y_0+Bu[/math], где [math]A,B[/math] - неизвестные константы (т.е. мы выбрали [math]x=P(u), y=Q(u)[/math], где [math]\deg P = \deg Q=1[/math]. Как угадывать степень многочленов я не знаю. Ну в данном случае я просто знаю понятно откуда ). Подставляем, получаем [math]Aa+Bb=0[/math], тогда можем выбрать [math]A=-b, B=a[/math] - подставляем, получаем семейство решений. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Sonic "Спасибо" сказали: Sviatoslav |
||
andrei |
|
|
Я кратко.После подстановки получим следующее:
[math]x^{3}=(u+10)^{3}=u^{3}+30u^{2}+300u+1000[/math] [math]y^{3}=(-u+10)^{3}=-u^{3}+30u^{2}-300u+1000[/math] [math]z^{3}=(v-1){3}=v^{3}-3v^{2}+3v-1[/math] [math]t^{3}=-v^{2}[/math] Сложив всё это,получим [math]60u^{2}=3v(v-1)[/math] или [math]20u^{2}=v(v-1)[/math] Окончательно преобразуем уравнение [math](2v-1)^{2}-80u^{2}=1[/math] На этом можно было бы и закончить,так как полученное уравнени Пелля давно и хорошо изучено и доказано,что оно имеет бесконечно много решений в целых числах.Но я пойду несколько по другому пути. Не вдаваясь в подробности,приведу формулы решения в действительных числах [math]u= \frac{ 2mn }{ m^{2}-80n^{2} } \,\,\ 2v-1= \frac{m^{2}+80n^{2} }{m^{2}-80n^{2} } \,\,\ \Rightarrow v= \frac{ m^{2} }{ m^{2}-80n^{2} }[/math] Первые значения для [math]u_{1}[/math] и [math]v_{1}[/math] найдём при [math]m_{1}=9 \,\,\ n_{1}=1[/math] при этом значение выражения [math]m_{1}^{2}-80n_{1}^{2}=1[/math].Откуда [math]u_{1}=18 \,\,\ v_{1}=81[/math]. Заметим,что уравнение [math](2v-1)^{2}-80u^{2}=1[/math] имеет тот же вид,что и знаменатель [math]m^{2}-80n^{2}[/math] То есть,подставив [math]m_{2}=2v_{1}-1 \,\,\ n_{2}=u_{1}[/math] ,найдём целочисленные значения для [math]u_{2}[/math] и [math]v_{2}[/math] и т.д.. Осталось доказать,что этот процесс не циклический,что совсем просто. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: Alexdemath, Sviatoslav |
||
Sviatoslav |
|
|
Спасибо огромное, более менее разобрался
andrei писал(а): Подсказка №1. Сделайте подстановку [math]x=u+10 \,\,\ y=-u+10 \,\,\ z=v-1 \,\,\ t=-v[/math] Скажите пожалуйста, как Вы получили такую замену? Почему, если [math]x = u + 10[/math], то [math]y = - u + 10[/math]? И не подскажите ли, где можно обстоятельно почитать про решение уравнения этого Пелля? В Интернете есть много чего по этому уравнению, но все в общем сложном виде. Может, есть книжка или сайт, где более подробно объяснено? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказательство бесконечности простых чисел близнецов
в форуме Теория чисел |
21 |
1171 |
29 апр 2019, 21:44 |
|
Доказательство бесконечности ряда простых чисел вида 4n+3
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
273 |
29 май 2018, 13:32 |
|
Диофантово уравнение | 584 |
12748 |
12 дек 2015, 00:03 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Алгебра |
5 |
127 |
10 ноя 2023, 22:39 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Теория чисел |
4 |
392 |
25 фев 2020, 11:11 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
166 |
07 июн 2023, 14:41 |
|
Уравнение диофантово
в форуме Теория чисел |
23 |
823 |
17 июн 2021, 11:02 |
|
Диофантово уравнение
в форуме Теория чисел |
10 |
2814 |
17 июл 2014, 22:39 |
|
Квадратное диофантово уравнение
в форуме Теория чисел |
13 |
856 |
11 июн 2018, 11:01 |
|
Диофантово уравнение в wolframalpha
в форуме Алгебра |
2 |
731 |
18 окт 2017, 01:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |