Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=18334 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Katherina [ 28 сен 2012, 10:26 ] |
Заголовок сообщения: | Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов |
Помогите пожалуйста, хотя бы некоторые пункты! Будем говорить, что число n является (a,b)-квадратом, где [math]a[/math] и [math]b[/math] – целые числа, если найдутся такие целые числа [math]x[/math] и [math]y[/math], что [math]n=ax^2+by^2[/math]. Аналогично, [math]n[/math] будем называть (a,b,c)-квадратом для целых чисел [math]a,\,b[/math] и [math]c[/math], если найдутся целые числа [math]x,\,y[/math] и [math]z[/math] такие, что [math]n=ax^2+by^2+cz^2[/math]. Число, представимое в виде суммы [math]t[/math] квадратов целых чисел, будем называть t-квадратом. В частности, (1,1)-квадрат является 2-квадратом. 1. Пусть число n является 2-квадратом. А) Докажите, что 2n, n^2 и n^3 также является 2-квадратами. Б) Докажите, что 3n не является 2-квадратом. В) Найдите все натуральные числа k и m, при которых числа kn и nm будут являться 2 квадратами. 2. Пусть числа n и m являются (a, b)-квадратами. А) Докажите, что если a = 1, то nm также является (a, b)-квадратом. Б) Найдите все целые a и b, для которых nm является (a, b)-квадратом. В) Предложите аналогичные вопросы для (a, b, c)-квадратов и исследуйте их. 3. Пусть число n^2 = a + b, где n, a, b – целые числа. А) Докажите, что 2(a^3 + b^3) является 3-квадратом, 4(a^5 + b^5) – 4-квадратом. Б) Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t квадратами. 4. Докажите, что для любого целого n число 3n^4 + 1 является 3-квадратом. А) Ответьте на вопрос, при каких натуральных числах k и r число rn^k+1 будет являться t квадратом для некоторого целого числа t, а при каких нет? Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t-квадратами.
Б) Общий вопрос: какие натуральные числа являются t-квадратами? Укажите все эти числа или хотя бы какие-то наборы таких чисел (возможно задаваемые общей формулой или рекуррентно). |
Автор: | arkadiikirsanov [ 28 сен 2012, 10:45 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов |
Ума хватило только на то, чтобы придумать, как чужим умом "победить" на XIV Республиканском турнире юных математиков Белоруссии?. Вот я Батьке-то письмецо напишу, а он ужо сам с хитро.опыми разберется! |
Автор: | Avgust [ 28 сен 2012, 10:57 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов |
Класс! Теперь Катерине приз не светит. Не станет она гением математики и не получит орден из рук Лукашенко. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |