Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=18334
Страница 1 из 1

Автор:  Katherina [ 28 сен 2012, 10:26 ]
Заголовок сообщения:  Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов

Помогите пожалуйста, хотя бы некоторые пункты!

Будем говорить, что число n является (a,b)-квадратом, где [math]a[/math] и [math]b[/math] – целые числа, если найдутся такие целые числа [math]x[/math] и [math]y[/math], что [math]n=ax^2+by^2[/math]. Аналогично, [math]n[/math] будем называть (a,b,c)-квадратом для целых чисел [math]a,\,b[/math] и [math]c[/math], если найдутся целые числа [math]x,\,y[/math] и [math]z[/math] такие, что [math]n=ax^2+by^2+cz^2[/math]. Число, представимое в виде суммы [math]t[/math] квадратов целых чисел, будем называть t-квадратом. В частности, (1,1)-квадрат является 2-квадратом.

1. Пусть число n является 2-квадратом.
А) Докажите, что 2n, n^2 и n^3 также является 2-квадратами.
Б) Докажите, что 3n не является 2-квадратом.
В) Найдите все натуральные числа k и m, при которых числа kn и nm будут являться 2 квадратами.

2. Пусть числа n и m являются (a, b)-квадратами.
А) Докажите, что если a = 1, то nm также является (a, b)-квадратом.
Б) Найдите все целые a и b, для которых nm является (a, b)-квадратом.
В) Предложите аналогичные вопросы для (a, b, c)-квадратов и исследуйте их.

3. Пусть число n^2 = a + b, где n, a, b – целые числа.
А) Докажите, что 2(a^3 + b^3) является 3-квадратом, 4(a^5 + b^5) – 4-квадратом.
Б) Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t квадратами.

4. Докажите, что для любого целого n число 3n^4 + 1 является 3-квадратом.
А) Ответьте на вопрос, при каких натуральных числах k и r число rn^k+1 будет являться t квадратом для некоторого целого числа t, а при каких нет? Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t-квадратами.
Б) Общий вопрос: какие натуральные числа являются t-квадратами? Укажите все эти числа или хотя бы какие-то наборы таких чисел (возможно задаваемые общей формулой или рекуррентно).

Автор:  arkadiikirsanov [ 28 сен 2012, 10:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов

Ума хватило только на то, чтобы придумать, как чужим умом "победить" на XIV Республиканском турнире юных математиков Белоруссии?.
Вот я Батьке-то письмецо напишу, а он ужо сам с хитро.опыми разберется! :ROFL:

Автор:  Avgust [ 28 сен 2012, 10:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов

Класс! Теперь Катерине приз не светит. Не станет она гением математики и не получит орден из рук Лукашенко.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/