Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
СообщениеДобавлено: 28 сен 2012, 11:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2012, 11:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста, хотя бы некоторые пункты!

Будем говорить, что число n является (a,b)-квадратом, где [math]a[/math] и [math]b[/math] – целые числа, если найдутся такие целые числа [math]x[/math] и [math]y[/math], что [math]n=ax^2+by^2[/math]. Аналогично, [math]n[/math] будем называть (a,b,c)-квадратом для целых чисел [math]a,\,b[/math] и [math]c[/math], если найдутся целые числа [math]x,\,y[/math] и [math]z[/math] такие, что [math]n=ax^2+by^2+cz^2[/math]. Число, представимое в виде суммы [math]t[/math] квадратов целых чисел, будем называть t-квадратом. В частности, (1,1)-квадрат является 2-квадратом.

1. Пусть число n является 2-квадратом.
А) Докажите, что 2n, n^2 и n^3 также является 2-квадратами.
Б) Докажите, что 3n не является 2-квадратом.
В) Найдите все натуральные числа k и m, при которых числа kn и nm будут являться 2 квадратами.

2. Пусть числа n и m являются (a, b)-квадратами.
А) Докажите, что если a = 1, то nm также является (a, b)-квадратом.
Б) Найдите все целые a и b, для которых nm является (a, b)-квадратом.
В) Предложите аналогичные вопросы для (a, b, c)-квадратов и исследуйте их.

3. Пусть число n^2 = a + b, где n, a, b – целые числа.
А) Докажите, что 2(a^3 + b^3) является 3-квадратом, 4(a^5 + b^5) – 4-квадратом.
Б) Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t квадратами.

4. Докажите, что для любого целого n число 3n^4 + 1 является 3-квадратом.
А) Ответьте на вопрос, при каких натуральных числах k и r число rn^k+1 будет являться t квадратом для некоторого целого числа t, а при каких нет? Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t-квадратами.
Б) Общий вопрос: какие натуральные числа являются t-квадратами? Укажите все эти числа или хотя бы какие-то наборы таких чисел (возможно задаваемые общей формулой или рекуррентно).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
СообщениеДобавлено: 28 сен 2012, 11:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 17:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ума хватило только на то, чтобы придумать, как чужим умом "победить" на XIV Республиканском турнире юных математиков Белоруссии?.
Вот я Батьке-то письмецо напишу, а он ужо сам с хитро.опыми разберется! :ROFL:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
dr Watson
 Заголовок сообщения: Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
СообщениеДобавлено: 28 сен 2012, 11:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10135
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Класс! Теперь Катерине приз не светит. Не станет она гением математики и не получит орден из рук Лукашенко.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Представление суммы в виде произведения

в форуме Алгебра

afraumar

1

798

30 июн 2013, 20:53

Представить вектор в виде суммы двух

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

brom

1

55

16 сен 2017, 23:48

Представить дробь в виде суммы двух других

в форуме Алгебра

gail-ul

3

77

26 ноя 2016, 13:31

Представить число alpha в виде суммы двух

в форуме Дифференциальное исчисление

Tina5310

2

176

11 май 2014, 16:11

Представить дробь в виде суммы двух дробей

в форуме Алгебра

afraumar

20

2738

20 май 2013, 20:26

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Алгебра

johnson

4

190

14 мар 2017, 23:00

Представление графа в виде параллельных линий

в форуме Maple

Nastena007

0

331

24 окт 2012, 01:29

Представление чисел Ферма

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

dkyev

1

245

27 авг 2014, 15:26

Суммы квадратов TSS, ESS; эмпирическое уравнение модели

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Djghjcf

1

220

22 мар 2015, 15:49

Доказать, что какая-то оценка получена не более двух раз

в форуме Алгебра

bnr07

12

1374

04 фев 2014, 12:06


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ellipsoid и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved