Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
СообщениеДобавлено: 28 сен 2012, 10:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2012, 10:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста, хотя бы некоторые пункты!

Будем говорить, что число n является (a,b)-квадратом, где [math]a[/math] и [math]b[/math] – целые числа, если найдутся такие целые числа [math]x[/math] и [math]y[/math], что [math]n=ax^2+by^2[/math]. Аналогично, [math]n[/math] будем называть (a,b,c)-квадратом для целых чисел [math]a,\,b[/math] и [math]c[/math], если найдутся целые числа [math]x,\,y[/math] и [math]z[/math] такие, что [math]n=ax^2+by^2+cz^2[/math]. Число, представимое в виде суммы [math]t[/math] квадратов целых чисел, будем называть t-квадратом. В частности, (1,1)-квадрат является 2-квадратом.

1. Пусть число n является 2-квадратом.
А) Докажите, что 2n, n^2 и n^3 также является 2-квадратами.
Б) Докажите, что 3n не является 2-квадратом.
В) Найдите все натуральные числа k и m, при которых числа kn и nm будут являться 2 квадратами.

2. Пусть числа n и m являются (a, b)-квадратами.
А) Докажите, что если a = 1, то nm также является (a, b)-квадратом.
Б) Найдите все целые a и b, для которых nm является (a, b)-квадратом.
В) Предложите аналогичные вопросы для (a, b, c)-квадратов и исследуйте их.

3. Пусть число n^2 = a + b, где n, a, b – целые числа.
А) Докажите, что 2(a^3 + b^3) является 3-квадратом, 4(a^5 + b^5) – 4-квадратом.
Б) Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t квадратами.

4. Докажите, что для любого целого n число 3n^4 + 1 является 3-квадратом.
А) Ответьте на вопрос, при каких натуральных числах k и r число rn^k+1 будет являться t квадратом для некоторого целого числа t, а при каких нет? Найдите все натуральные числа r, k и t, при которых числа r(a^k + b^k) будут t-квадратами.
Б) Общий вопрос: какие натуральные числа являются t-квадратами? Укажите все эти числа или хотя бы какие-то наборы таких чисел (возможно задаваемые общей формулой или рекуррентно).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
СообщениеДобавлено: 28 сен 2012, 10:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ума хватило только на то, чтобы придумать, как чужим умом "победить" на XIV Республиканском турнире юных математиков Белоруссии?.
Вот я Батьке-то письмецо напишу, а он ужо сам с хитро.опыми разберется! :ROFL:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
dr Watson
 Заголовок сообщения: Re: Представление чисел в виде суммы двух и более квадратов
СообщениеДобавлено: 28 сен 2012, 10:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Класс! Теперь Катерине приз не светит. Не станет она гением математики и не получит орден из рук Лукашенко.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Числа, представимые в виде суммы двух точных квадратов

в форуме Теория чисел

Xenia1996

1

109

19 фев 2024, 00:21

Представление чётного числа в виде суммы четырёх простых

в форуме Палата №6

Michail69

2

266

14 дек 2019, 12:31

Представить вектор в виде суммы двух

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

brom

1

449

16 сен 2017, 22:48

Представить дробь в виде суммы двух других

в форуме Алгебра

gail-ul

3

286

26 ноя 2016, 12:31

Представить число alpha в виде суммы двух

в форуме Дифференциальное исчисление

Tina5310

2

491

11 май 2014, 15:11

Теорема о разности квадратов двух целых чисел

в форуме Размышления по поводу и без

Kombat

1

291

08 дек 2017, 13:51

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна четвертая степен

в форуме Теория чисел

Phenol

1

320

01 апр 2020, 14:23

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Теория чисел

johnson

5

934

14 мар 2017, 22:00

Представление сферы в виде множества колец

в форуме Электричество и Магнетизм

wallesss

21

351

13 дек 2022, 19:43

Представление квадратного корня из 2 в виде десятичной дроби

в форуме Алгебра

500495

9

176

17 сен 2023, 19:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved