Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что для любого натурального числа n существует
СообщениеДобавлено: 14 июл 2012, 11:09 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как правильно решить следующую задачу: "Докажите, что для любого натурального числа n существует целое число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на n"?

Полагаю, достаточно доказать, что существуют два различных числа, записываемых только единицами (можно рассмотреть ещё и число 0), которые при делении на n дают одинаковые остатки. Разность этих чисел записывается заданным образом и делится на n. Но моя проблема и заключается в том, что я не могу доказать существование хотя бы двух таких чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Извиняет меня, наверное, только то, что свой жизненный путь я уже заканчиваю (соответственно, мозги утрачивают работоспособность), и я в этом возрасте вознамерился повысить свой уровень математических знаний...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на делимость
СообщениеДобавлено: 14 июл 2012, 12:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача.

Докажите, что для любого натурального числа n существует целое число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на n.

Решение.

Рассмотрим конечную последовательность, состоящую из [math]n+1[/math] чисел:

[math]1;\,\,11;\,\,111;\,\,...\,\,;\underbrace {1...1}_n;\,\,\underbrace {1...11}_{n + 1}[/math].
Десятичная запись первого числа состоит из одной единицы, второго – из двух единиц и т.д.
При делении любого натурального числа на [math]n[/math] может получиться один из остатков, равных
0; 1; 2; …; (n-1).
Рассмотрим [math]n[/math] ячеек и занумеруем их остатками 0; 1; 2; …; (n-1).
Тогда при распределении [math](n+1)[/math] чисел [math]1;\,\,11;\,\,111;\,\,...\,\,;\underbrace {1...1}_n;\,\,\underbrace{1...11}_{n + 1}[/math] по этим ячейкам найдётся ячейка, в которую попадут, по крайней мере, два числа [math]a[/math] и [math]b[/math] ([math]a>b[/math]), поскольку распределяемых чисел больше, чем ячеек. Так как числа [math]a[/math] и [math]b[/math]дают одинаковые остатки при делении на [math]n[/math], то их разность нацело будет делиться на [math]n[/math], т.е.

[math]a - b = \underbrace {1...1}_m - \underbrace {1...1}_k = \underbrace {1...1}_{m - k}\underbrace {0...0}_k \vdots n[/math]
Таким образом, мы доказали, что существует натуральное число, кратное [math]n[/math], десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Утверждение доказано.

Примечание: при решении данной задачи был использован принцип Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Andy
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Докажите что для любого натурального значения n справедливо

в форуме Алгебра

HackeXe

2

580

20 окт 2015, 17:10

Кратные любого числа k

в форуме Теория чисел

Tobias

3

236

30 авг 2021, 19:38

Вопрос о получении любого числа

в форуме Размышления по поводу и без

dorofeev

22

1622

23 сен 2017, 15:22

Из любого ли двузначного числа можно получить однозначное?

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

1

271

15 фев 2021, 01:15

Выражение → квадрат натурального числа

в форуме Алгебра

Daniel_T

5

198

19 июн 2020, 06:09

Записать седьмую степень натурального числа

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Xenia1996

16

456

16 янв 2021, 12:07

Доказать что уравнение имеет единственное решение для любого

в форуме Дифференциальное исчисление

lanvandance

7

662

24 янв 2019, 22:14

Доказать, что предел не существует

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lenta

6

1721

22 июн 2014, 15:38

Доказать, что для любых n существует круг

в форуме Геометрия

wyifhd

3

255

10 июн 2020, 13:59

Доказать, что не существует ненулевых гомоморфизмов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

H0las

8

611

22 мар 2016, 15:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved