Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Andy |
|
|
Полагаю, достаточно доказать, что существуют два различных числа, записываемых только единицами (можно рассмотреть ещё и число 0), которые при делении на n дают одинаковые остатки. Разность этих чисел записывается заданным образом и делится на n. Но моя проблема и заключается в том, что я не могу доказать существование хотя бы двух таких чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Извиняет меня, наверное, только то, что свой жизненный путь я уже заканчиваю (соответственно, мозги утрачивают работоспособность), и я в этом возрасте вознамерился повысить свой уровень математических знаний... |
||
Вернуться к началу | ||
Uncle Fedor |
|
|
Задача.
Докажите, что для любого натурального числа n существует целое число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на n. Решение. Рассмотрим конечную последовательность, состоящую из [math]n+1[/math] чисел: [math]1;\,\,11;\,\,111;\,\,...\,\,;\underbrace {1...1}_n;\,\,\underbrace {1...11}_{n + 1}[/math]. Десятичная запись первого числа состоит из одной единицы, второго – из двух единиц и т.д. При делении любого натурального числа на [math]n[/math] может получиться один из остатков, равных 0; 1; 2; …; (n-1). Рассмотрим [math]n[/math] ячеек и занумеруем их остатками 0; 1; 2; …; (n-1). Тогда при распределении [math](n+1)[/math] чисел [math]1;\,\,11;\,\,111;\,\,...\,\,;\underbrace {1...1}_n;\,\,\underbrace{1...11}_{n + 1}[/math] по этим ячейкам найдётся ячейка, в которую попадут, по крайней мере, два числа [math]a[/math] и [math]b[/math] ([math]a>b[/math]), поскольку распределяемых чисел больше, чем ячеек. Так как числа [math]a[/math] и [math]b[/math]дают одинаковые остатки при делении на [math]n[/math], то их разность нацело будет делиться на [math]n[/math], т.е. [math]a - b = \underbrace {1...1}_m - \underbrace {1...1}_k = \underbrace {1...1}_{m - k}\underbrace {0...0}_k \vdots n[/math] Таким образом, мы доказали, что существует натуральное число, кратное [math]n[/math], десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей. Утверждение доказано. Примечание: при решении данной задачи был использован принцип Дирихле. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Andy |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |