Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что для любого натурального числа n существует
СообщениеДобавлено: 14 июл 2012, 12:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14682
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 889
Спасибо получено:
3238 раз в 2993 сообщениях
Очков репутации: 619

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как правильно решить следующую задачу: "Докажите, что для любого натурального числа n существует целое число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на n"?

Полагаю, достаточно доказать, что существуют два различных числа, записываемых только единицами (можно рассмотреть ещё и число 0), которые при делении на n дают одинаковые остатки. Разность этих чисел записывается заданным образом и делится на n. Но моя проблема и заключается в том, что я не могу доказать существование хотя бы двух таких чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Извиняет меня, наверное, только то, что свой жизненный путь я уже заканчиваю (соответственно, мозги утрачивают работоспособность), и я в этом возрасте вознамерился повысить свой уровень математических знаний...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на делимость
СообщениеДобавлено: 14 июл 2012, 13:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 01:53
Сообщений: 1389
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
982 раз в 640 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача.

Докажите, что для любого натурального числа n существует целое число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на n.

Решение.

Рассмотрим конечную последовательность, состоящую из [math]n+1[/math] чисел:

[math]1;\,\,11;\,\,111;\,\,...\,\,;\underbrace {1...1}_n;\,\,\underbrace {1...11}_{n + 1}[/math].
Десятичная запись первого числа состоит из одной единицы, второго – из двух единиц и т.д.
При делении любого натурального числа на [math]n[/math] может получиться один из остатков, равных
0; 1; 2; …; (n-1).
Рассмотрим [math]n[/math] ячеек и занумеруем их остатками 0; 1; 2; …; (n-1).
Тогда при распределении [math](n+1)[/math] чисел [math]1;\,\,11;\,\,111;\,\,...\,\,;\underbrace {1...1}_n;\,\,\underbrace{1...11}_{n + 1}[/math] по этим ячейкам найдётся ячейка, в которую попадут, по крайней мере, два числа [math]a[/math] и [math]b[/math] ([math]a>b[/math]), поскольку распределяемых чисел больше, чем ячеек. Так как числа [math]a[/math] и [math]b[/math]дают одинаковые остатки при делении на [math]n[/math], то их разность нацело будет делиться на [math]n[/math], т.е.

[math]a - b = \underbrace {1...1}_m - \underbrace {1...1}_k = \underbrace {1...1}_{m - k}\underbrace {0...0}_k \vdots n[/math]
Таким образом, мы доказали, что существует натуральное число, кратное [math]n[/math], десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Утверждение доказано.

Примечание: при решении данной задачи был использован принцип Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Andy
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что для любого натурального n справедливо

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Stolzes

6

574

22 июн 2012, 21:32

Докажите справедливость формулы для любого натурального n:

в форуме Теория чисел

RICHI

5

346

11 дек 2013, 16:24

Докажите что для любого натурального значения n справедливо

в форуме Алгебра

HackeXe

2

152

20 окт 2015, 18:10

Вопрос о получении любого числа

в форуме Дискуссионные математические проблемы

dorofeev

9

183

23 сен 2017, 16:22

Сумма цифр натурального числа

в форуме Алгебра

- + _ + -

2

252

06 янв 2012, 20:15

Как доказать, что предел не существует

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

llomuy

6

482

07 ноя 2011, 08:36

Доказать, что предел не существует

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lenta

6

692

22 июн 2014, 16:38

Доказать что предел не существует

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mozhik

1

262

20 янв 2012, 18:40

Доказать, что предел не существует

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

delmel

4

1710

23 окт 2012, 17:10

Доказать, что не существует ненулевых гомоморфизмов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

H0las

8

195

22 мар 2016, 16:22


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved