Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
tetroel |
|
||
[math]3^{x}+4^{y}=5^{z}[/math] Очевидно, что при двойке пифагоровы тройки. А дальше как? |
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
|
При делении на 3 обе части уравнения должны давать одинаковый остаток. Левая часть даёт 1, правая при чётных [math]z[/math] даёт 1, а при нечётных 2 (проверьте). Значит [math]z=2m[/math]. Тогда
[math]3^x=(5^m-2^y)(5^m+2^y)[/math] Значит либо один из множителей равен 1, либо они оба являются ненулевыми степенями тройки. Покажем, что последнее предположение неверно. Действительно, если предположить, что существуют такие натуральные числа [math]p[/math] и [math]q[/math], что [math]\begin{cases}5^m-2^y=3^p\\5^m+2^y=3^q[/math] то [math]2\cdot5^m=3^p+3^q[/math], что, очевидно, неверно, так как правая часть делится на 3, а левая нет. Значит один из множителей равен единице, причём ясно , что ею будет наименьший из множителей. Получаем систему [math]\begin{cases}5^m-2^y=1\\5^m+2^y=3^x[/math] откуда [math]2^{y+1}=3^x-1[/math]. Левая часть делится на 4, значит [math]3^x[/math] даёт остаток 1, что возможно только при чётных [math]x[/math] (проверьте). Значит [math]x=2n[/math], отсюда получаем [math]2^{y+1}=(3^n-1)(3^n+1)[/math] Значит либо один из множителей равен 1, либо они оба являются ненулевыми степенями двойки. Легко проверить, что первое предположение неверно, значит существуют такие натуральные числа [math]p[/math] и [math]q[/math], что [math]\begin{cases}3^n+1=2^p\\3^n-1=2^q[/math] Отсюда получаем, что [math]2=2^p-2^q,\ 1=2^{p-1}-2^{q-1}[/math]. Значит хотя бы одна из степеней должна быть равна 0 (иначе правая часть делится на 2, в отличие от левой). Проверкой убеждаемся, что подходит только вариант [math]q-1=0[/math], откуда последовательно получаем: [math]1=2^{p-1}-1,\ p=2,\ n=1,\ y=2,\ x=2,\ m=1,\ z=2[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math |
||
andrei |
|
|
Ага,а ещё [math]3^0+4^1=5^1[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
andrei писал(а): Ага,а ещё [math]3^0+4^1=5^1[/math] ноль не натуральное |
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Ноль зависит очень от географии. В России ноль не является натуральным числом http://ru.wikipedia.org/wiki/Ноль_(число)
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: mad_math |
||
MihailM |
|
|
andrei писал(а): http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%E0%F2%F3%F0%E0%EB%FC%ED%EE%E5_%F7%E8%F1%EB%EE я профессиональный математик по образованию, не надо меня учить натуральный ноль или нет - в русском языке ненатуральный |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
MihailM писал(а): andrei писал(а): http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%E0%F2%F3%F0%E0%EB%FC%ED%EE%E5_%F7%E8%F1%EB%EE я профессиональный математик по образованию, не надо меня учить натуральный ноль или нет - в русском языке ненатуральный В логике и в теории чисел чаще считают ноль натуральным. В этом семестре у меня ноль каждый день не натуральное, а в прошлом было натуральным каждую пятницу первой парой. Летом мне эта проблема по барабану, а на следующий семестр я пока не знаю ни свою нагрузку, ни расписание занятий. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
dr Watson писал(а): ... в теории чисел чаще считают ноль натуральным... Вранье |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решить в натуральных числах
в форуме Алгебра |
3 |
566 |
24 мар 2014, 21:32 |
|
Решить в натуральных числах | 12 |
702 |
22 мар 2019, 15:48 |
|
Уравнение с тремя неизвестными
в форуме Алгебра |
4 |
286 |
22 июл 2017, 01:10 |
|
Диофантово уравнение с тремя неизвестными
в форуме Теория чисел |
5 |
466 |
11 июн 2018, 18:23 |
|
Уравнение в натуральных числах | 4 |
261 |
12 июн 2023, 01:35 |
|
Уравнение в натуральных числах
в форуме Теория чисел |
9 |
540 |
22 окт 2017, 10:52 |
|
Привести к каноническому виду уравнение с тремя неизвестными
в форуме Специальные разделы |
0 |
209 |
24 фев 2019, 16:49 |
|
Румяное уравнение в натуральных числах | 3 |
430 |
19 июл 2017, 00:19 |
|
Уравнение в натуральных числах (Вінниця, 1991) | 6 |
140 |
12 фев 2024, 10:48 |
|
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение?
в форуме Палата №6 |
4 |
278 |
15 сен 2021, 22:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |