Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
kristichka |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Пусть [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, причём [math]p>q[/math].
Делимость на 16: [math]p^4-q^4=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)[/math]. Поскольку [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, то они нечетны, и значит каждая скобка чётна, то есть [math]p^4-q^4[/math] делится на 8. Кроме того, [math]p+r=(p-r)+2r\Rightarrow\frac{p+r}2=\frac{p-r}2+r[/math]. Если [math]\frac{p-r}2[/math] нечётно, то [math]\frac{p+r}2[/math] чётно и наоборот, если [math]\frac{p+r}2[/math] нечётно, то [math]\frac{p-r}2[/math] чётно. Значит хотя бы одна из скобок [math](p-q), (p+q)[/math] делится на 4, и значит всё произведение делится на 16. Делимость на 3: [math]p^4-q^4=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)[/math]. Поскольку [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, то ни одно из них не делится нацело на 3, значит они дают в остатке либо 1, либо 2. Тогда либо их сумма делится на 3 (если остатки различны), либо их разность делится на 3 (если остатки равны), то есть хотя бы одна из скобок [math](p-q), (p+q)[/math] делится на 3, и значит всё произведение делится на 3. Делимость на 5: [math]p^4-q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)[/math]. Квадраты натуральных чисел при делении на 5 дают в остатке либо 0, либо 1, либо 4, но так как [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, то квадрат ни одного из них не делится нацело на 5, значит он даёт в остатке либо 1, либо 4. Тогда либо сумма их квадратов делится на 5 (если остатки различны), либо их разность делится на 5 (если остатки равны), то есть хотя бы одна из скобок [math](p^2-q^2), (p^2+q^2)[/math] делится на 5, и значит всё произведение делится на 5. Всё это вместе даёт делимость на 240. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: kristichka |
||
vorvalm |
|
|
При [math]p>5,\; p^4\equiv 1(\mod 5), \;p^2\equiv 1(\mod3), \; p^2_t\equiv p_s^2(\mod 8)[/math] и т.д.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали: velagor247 |
||
andrei |
|
|
Можно представить простые числа в виде [math]6k-1[/math] и [math]6m+1[/math],и тогда доказательство будет вполне несложным.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: Human |
||
Human |
|
|
andrei писал(а): Можно представить простые числа в виде [math]6k-1[/math] и [math]6m+1[/math],и тогда доказательство будет вполне несложным. Не знал такого свойства, очень остроумно. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Перемножение степеней простых чисел
в форуме Алгебра |
9 |
272 |
21 ноя 2019, 16:49 |
|
Сумма и разность двух взаимнопростых чисел
в форуме Алгебра |
2 |
408 |
05 ноя 2017, 02:22 |
|
ВТФ: разность нечетных степеней нечетных чисел
в форуме Палата №6 |
24 |
1572 |
26 сен 2014, 14:31 |
|
Разность шестнадцатых степеней | 2 |
362 |
08 авг 2021, 13:26 |
|
Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон
в форуме Размышления по поводу и без |
2 |
257 |
28 июн 2023, 11:23 |
|
Разность двух дробей
в форуме Алгебра |
1 |
417 |
30 июн 2015, 19:51 |
|
Сумма степеней ряда натуральных чисел
в форуме Ряды |
2 |
919 |
29 ноя 2014, 11:48 |
|
Найти разность чисел
в форуме Алгебра |
4 |
165 |
04 окт 2023, 20:31 |
|
Упростить сумму(разность) двух кубических корней. | 6 |
15763 |
16 ноя 2014, 10:42 |
|
Доказать,что разность двух б.м. имеет 2-й порядок малости
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
626 |
11 окт 2015, 18:00 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |