Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Докажите, что разность четвертых степеней двух простых чисел
СообщениеДобавлено: 21 апр 2012, 16:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 апр 2012, 15:37
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что разность четвертых степеней двух простых чисел, больших 5, делится на 240

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: докажите
СообщениеДобавлено: 21 апр 2012, 17:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, причём [math]p>q[/math].

Делимость на 16:

[math]p^4-q^4=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)[/math]. Поскольку [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, то они нечетны, и значит каждая скобка чётна, то есть [math]p^4-q^4[/math] делится на 8. Кроме того, [math]p+r=(p-r)+2r\Rightarrow\frac{p+r}2=\frac{p-r}2+r[/math]. Если [math]\frac{p-r}2[/math] нечётно, то [math]\frac{p+r}2[/math] чётно и наоборот, если [math]\frac{p+r}2[/math] нечётно, то [math]\frac{p-r}2[/math] чётно. Значит хотя бы одна из скобок [math](p-q), (p+q)[/math] делится на 4, и значит всё произведение делится на 16.

Делимость на 3:

[math]p^4-q^4=(p-q)(p+q)(p^2+q^2)[/math]. Поскольку [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, то ни одно из них не делится нацело на 3, значит они дают в остатке либо 1, либо 2. Тогда либо их сумма делится на 3 (если остатки различны), либо их разность делится на 3 (если остатки равны), то есть хотя бы одна из скобок [math](p-q), (p+q)[/math] делится на 3, и значит всё произведение делится на 3.

Делимость на 5:

[math]p^4-q^4=(p^2-q^2)(p^2+q^2)[/math]. Квадраты натуральных чисел при делении на 5 дают в остатке либо 0, либо 1, либо 4, но так как [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа, большие 5, то квадрат ни одного из них не делится нацело на 5, значит он даёт в остатке либо 1, либо 4. Тогда либо сумма их квадратов делится на 5 (если остатки различны), либо их разность делится на 5 (если остатки равны), то есть хотя бы одна из скобок [math](p^2-q^2), (p^2+q^2)[/math] делится на 5, и значит всё произведение делится на 5.

Всё это вместе даёт делимость на 240.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
kristichka
 Заголовок сообщения: Re: докажите
СообщениеДобавлено: 21 апр 2012, 17:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При [math]p>5,\; p^4\equiv 1(\mod 5), \;p^2\equiv 1(\mod3), \; p^2_t\equiv p_s^2(\mod 8)[/math] и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
velagor247
 Заголовок сообщения: Re: докажите
СообщениеДобавлено: 21 апр 2012, 18:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно представить простые числа в виде [math]6k-1[/math] и [math]6m+1[/math],и тогда доказательство будет вполне несложным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: докажите
СообщениеДобавлено: 21 апр 2012, 19:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Можно представить простые числа в виде [math]6k-1[/math] и [math]6m+1[/math],и тогда доказательство будет вполне несложным.

Не знал такого свойства, очень остроумно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Перемножение степеней простых чисел

в форуме Алгебра

Grigory Morozov

9

272

21 ноя 2019, 16:49

Сумма и разность двух взаимнопростых чисел

в форуме Алгебра

argus

2

408

05 ноя 2017, 02:22

ВТФ: разность нечетных степеней нечетных чисел

в форуме Палата №6

Markopolo

24

1572

26 сен 2014, 14:31

Разность шестнадцатых степеней

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

362

08 авг 2021, 13:26

Множество простых чисел и пар простых чисел-близнецов бескон

в форуме Размышления по поводу и без

korolchukvasily

2

257

28 июн 2023, 11:23

Разность двух дробей

в форуме Алгебра

Elisteriya

1

417

30 июн 2015, 19:51

Сумма степеней ряда натуральных чисел

в форуме Ряды

Viper83

2

919

29 ноя 2014, 11:48

Найти разность чисел

в форуме Алгебра

dikarka2004

4

165

04 окт 2023, 20:31

Упростить сумму(разность) двух кубических корней.

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

vfomin

6

15763

16 ноя 2014, 10:42

Доказать,что разность двух б.м. имеет 2-й порядок малости

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mayer

1

626

11 окт 2015, 18:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved