Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Взаимно простые числа
СообщениеДобавлено: 23 фев 2012, 21:34 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 21:12
Сообщений: 895
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]a[/math], [math]b[/math] и [math]c[/math] - попарно взаимно простые натуральные числа. Нужно найти все возможные значения
[math]\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}[/math]
если известно, что это число - целое.

Пожалуйста, подскажите, с чего лучше начать. Задание не сложное, но мне не хватает либо знаний, либо логики :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взаимно простые числа
СообщениеДобавлено: 23 фев 2012, 21:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 15:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Предлагаю начать так:
1. Доказать, что (a+b)/c, (b+c)/a и (c+a)/b - целые
2. Выбрать из a, b, c наибольшее и найти чему равно наименьшее

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Взаимно простые числа
СообщениеДобавлено: 23 фев 2012, 22:32 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 21:12
Сообщений: 895
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разве все три этих выражения будут целыми???
Если взять числа а=7, b=13 и с=19, то только третье целое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Взаимно простые числа
СообщениеДобавлено: 23 фев 2012, 23:41 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
23 фев 2012, 01:37
Сообщений: 362
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 26
Спасибо получено:
129 раз в 117 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav, какие интересные задачи Вы выкладываете)
Да, если всё выражение целое, то и эти штуки будут целыми выкладки вот:

Изображение

То есть их сумма должна быть целой. То, что если сумма целая, то каждое их них целое, видимо как-то следует из того, что они простые, но пока не пойму как.
И, честно сказать, то что Shaman предложил сделать дальше, я тоже что-то не понял пока.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ileech "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Взаимно простые числа
СообщениеДобавлено: 24 фев 2012, 08:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 15:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav писал(а):
Разве все три этих выражения будут целыми???
Если взять числа A=7, B=13 и C=19, то только третье целое.

ЕСЛИ ваше выражение целое, ТО и эти дроби будут целыми. Очевидно, числа A+C и B+C не могут делиться на C. Но в знаменателе эта бяка C стоит, кто-то из числителя должен на него делиться. Значит, A+B.
Выберем наибольшее число из трёх, пусть это C. Как мы уже показали, A+B делится на C. Покажите, что A+B=C и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Взаимно простые числа, фракталы и числа Фибоначчи

в форуме Теория чисел

xcont

4

1058

19 авг 2013, 23:32

Взаимно-простые числа

в форуме Теория чисел

DanyaRRRR

3

192

17 авг 2017, 23:21

Попарно взаимно простые числа

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

mikail366

4

608

01 фев 2014, 23:48

Если a и b взаимно простые числа, то 1 входит ли

в форуме Теория чисел

afraumar

4

427

02 сен 2013, 16:24

Найдите все натуральные числа взаимно простые с данным

в форуме Теория чисел

russserebro

3

495

08 дек 2013, 11:19

Найти остаток от деления, если числа не взаимно простые

в форуме Теория чисел

jeliza_rosa

2

375

28 май 2016, 20:12

Система сравнений, когда модули не взаимно простые

в форуме Теория чисел

vlad-mal

2

63

16 июл 2018, 03:56

Простые числа

в форуме Алгебра

Maxoff

7

85

14 сен 2018, 19:56

Простые числа

в форуме Палата №6

nino4554

59

750

27 дек 2017, 20:58

Простые числа

в форуме Алгебра

mad_math

43

1053

06 ноя 2014, 16:57


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved