Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Folder |
|
|
Докажите, что если [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа близнецы [math](p-1=q+1)[/math], то [math]p^p+q^q[/math] кратно [math]p+q[/math]. Свои попытки доказательства не привожу, потому что у меня ничего практически не получается |
||
Вернуться к началу | ||
llorin |
|
|
Докажите соотношения: [math]p^p\equiv\,p\bmod{(p+q)}[/math] и [math]q^q\equiv\,q\bmod{(p+q)}[/math]; откуда будет следовать требуемое.
Например, первое. Число [math]p-1[/math] чётно, поэтому [math]p-1=2k[/math] для некоторого [math]k\in\mathbb{N}[/math], имеем [math]p^{p-1}-1=p^{2k}-1=(p^k-1)(p^k+1)[/math] , где ясно, что [math]\left.p-1\right|p^{k}-1[/math] а [math]\left.2\right|p^{k}+1[/math]. Следовательно, [math]p^{p-1}-1=2(p-1)t[/math] для некоторого натурального [math]t[/math]. Значит [math]p(p^{p-1}-1)=2(p-1)tp[/math] или [math]p^p=m2(p-1)+p[/math], где [math]m=tp[/math] а [math]2(p-1)=p+q[/math]. P.S. Запись [math]\left.a\right|b[/math] читается: [math]a[/math] делит [math]b[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
p+q=6k и т.д.
|
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
[math]p=6k-1[/math][math]q=6k+1[/math]тогда[math]p+q=12k[/math]
Откуда[math]p^{p}+q^{q}=(6k-1)^{6k-1}+(6k+1)^{6k-1}+(6k+1)^{6k+1}-(6k+1)^{6k-1}=(6k-1)^{6k-1}+(6k+1)^{6k-1}+ +(6k+1)^{6k-1}\cdot (36k^{2}-12k) }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
vira37 |
|
|
Folder писал(а): ... если [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа близнецы [math](p-1=q+1)[/math], то [math]p^p+q^q[/math] кратно [math]p+q[/math]. ... Главное - не слушать выпендривающихся своими познаниями советчиков, а ... не стесняться шевелить своими мозгами, будучи спокойным и упрямым,, - по совету Давида Гильберта от 08.08.1900. Цитата: Один старый французский математик сказал: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному". Это требование ясности и легкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы, если она претендует на совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а усложненность и запутанность отпугивают. … Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств. Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые оказываются более плодотворными, чем старые ... итак, у нас F = p + q; а сумма степеней в задании - ... оказывается ~ F, - после школьной алгебры. Не могу привести здесь эти простые "выкладки", т.к. экран у меня на этом портале "дёргается" - как и на ещё паре паре других - по не ясной мне причине. Но выбери показатель, число - нечётное, чтобы "отсекаемое " не мешало, сработав по школьной алгебре. |
||
Вернуться к началу | ||
vira37 |
|
|
vira37 писал(а): Folder писал(а): ... если [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа близнецы [math](p-1=q+1)[/math], то [math]p^p+q^q[/math] кратно [math]p+q[/math]. ... ... Но выбери показатель, число - нечётное, чтобы "отсекаемое " не мешало, сработав по школьной алгебре. "И на старуху бывает проруха" : эти близняшки все - нечётные, - [math]p^p+q^q[/math] = ([math]p^p+q^p[/math]) + [math]q^p[/math]([math]q^2[/math] -1). |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
[math]p>3,p=6k-1,q=6k+1,p+q=12k.[/math]
[math]p^p=(6k-1)^{6k-1}=(Newton's-binomial)=36k^2R-1.[/math] [math]q^q=(6k+1)^{6k+1}=36k^2S+1.[/math] [math]p^p+q^q=36k^2(R+S).[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Простые числа-близнецы
в форуме Размышления по поводу и без |
20 |
2701 |
20 дек 2016, 19:20 |
|
Новые простые числа-близнецы
в форуме Размышления по поводу и без |
50 |
963 |
12 фев 2020, 13:38 |
|
Простые числа-близнецы и магический квадрат 3х3
в форуме Объявления участников Форума |
2 |
997 |
16 ноя 2015, 13:01 |
|
Простые числа-близнецы. Простое детское задание
в форуме Алгебра |
1 |
228 |
05 май 2019, 13:14 |
|
Простые числа
в форуме Теория чисел |
9 |
1025 |
07 ноя 2015, 17:55 |
|
Простые числа
в форуме Теория чисел |
8 |
648 |
29 мар 2016, 17:31 |
|
Простые числа
в форуме Алгебра |
9 |
291 |
12 ноя 2021, 21:16 |
|
Простые числа
в форуме Теория чисел |
172 |
5022 |
08 фев 2016, 10:24 |
|
Простые числа
в форуме Теория чисел |
15 |
1723 |
14 мар 2019, 20:22 |
|
Простые числа
в форуме Теория чисел |
1 |
297 |
11 июн 2019, 13:54 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |