Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 16 июл 2010, 15:52 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 мар 2010, 18:14
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Умоляю помогите с заданием:

Докажите, что если [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа близнецы [math](p-1=q+1)[/math], то [math]p^p+q^q[/math] кратно [math]p+q[/math].

Свои попытки доказательства не привожу, потому что у меня ничего практически не получается :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 16 июл 2010, 19:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 фев 2010, 09:46
Сообщений: 82
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
52 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 142

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите соотношения: [math]p^p\equiv\,p\bmod{(p+q)}[/math] и [math]q^q\equiv\,q\bmod{(p+q)}[/math]; откуда будет следовать требуемое.

Например, первое.

Число [math]p-1[/math] чётно, поэтому [math]p-1=2k[/math] для некоторого [math]k\in\mathbb{N}[/math], имеем
[math]p^{p-1}-1=p^{2k}-1=(p^k-1)(p^k+1)[/math] , где ясно, что [math]\left.p-1\right|p^{k}-1[/math] а [math]\left.2\right|p^{k}+1[/math].

Следовательно, [math]p^{p-1}-1=2(p-1)t[/math] для некоторого натурального [math]t[/math].

Значит [math]p(p^{p-1}-1)=2(p-1)tp[/math] или [math]p^p=m2(p-1)+p[/math], где [math]m=tp[/math] а [math]2(p-1)=p+q[/math].

P.S. Запись [math]\left.a\right|b[/math] читается: [math]a[/math] делит [math]b[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 14 июн 2011, 16:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
p+q=6k и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 18 июн 2011, 19:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]p=6k-1[/math][math]q=6k+1[/math]тогда[math]p+q=12k[/math]
Откуда[math]p^{p}+q^{q}=(6k-1)^{6k-1}+(6k+1)^{6k-1}+(6k+1)^{6k+1}-(6k+1)^{6k-1}=(6k-1)^{6k-1}+(6k+1)^{6k-1}+
+(6k+1)^{6k-1}\cdot (36k^{2}-12k) }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 10 авг 2011, 13:11 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 авг 2011, 09:46
Сообщений: 107
Откуда: СПб - Хайфа
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Folder писал(а):
... если [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа близнецы [math](p-1=q+1)[/math], то [math]p^p+q^q[/math] кратно [math]p+q[/math]. ...

Главное - не слушать выпендривающихся своими познаниями советчиков, а ... не стесняться шевелить
своими мозгами, будучи спокойным и упрямым,
, - по совету Давида Гильберта от 08.08.1900.
Цитата:
Один старый французский математик сказал:
"Математическую теорию можно считать совершенной
только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной,
что берешься изложить ее содержание первому встречному".

Это требование ясности и легкой доступности,
которое здесь так резко ставится в отношении математической теории,
я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы,
если она претендует на совершенство;
ведь ясность и легкая доступность нас привлекают,
а усложненность и запутанность отпугивают.

Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве
- это враг простоты.
Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном:
строгие методы являются в то же время простейшими
и наиболее доступными.
Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств.
Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые
оказываются более плодотворными, чем старые ...

итак, у нас F = p + q; а сумма степеней в задании - ... оказывается ~ F, -
после школьной алгебры.

Не могу привести здесь эти простые "выкладки", т.к. экран у меня на этом портале
"дёргается" - как и на ещё паре паре других - по не ясной мне причине.

Но выбери показатель, число - нечётное, чтобы "отсекаемое " не мешало, сработав по школьной алгебре.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 12 авг 2011, 08:15 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 авг 2011, 09:46
Сообщений: 107
Откуда: СПб - Хайфа
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vira37 писал(а):
Folder писал(а):
... если [math]p[/math] и [math]q[/math] - простые числа близнецы [math](p-1=q+1)[/math], то [math]p^p+q^q[/math] кратно [math]p+q[/math]. ...

...
Но выбери показатель, число - нечётное, чтобы "отсекаемое " не мешало, сработав по школьной алгебре.

"И на старуху бывает проруха" :
эти близняшки все - нечётные, -

[math]p^p+q^q[/math] = ([math]p^p+q^p[/math]) + [math]q^p[/math]([math]q^2[/math] -1).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кратность и простые числа близнецы
СообщениеДобавлено: 12 окт 2011, 16:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]p>3,p=6k-1,q=6k+1,p+q=12k.[/math]
[math]p^p=(6k-1)^{6k-1}=(Newton's-binomial)=36k^2R-1.[/math]
[math]q^q=(6k+1)^{6k+1}=36k^2S+1.[/math]
[math]p^p+q^q=36k^2(R+S).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Простые числа-близнецы

в форуме Размышления по поводу и без

Galina Alexandrovna

20

2701

20 дек 2016, 19:20

Новые простые числа-близнецы

в форуме Размышления по поводу и без

ab57888

50

963

12 фев 2020, 13:38

Простые числа-близнецы и магический квадрат 3х3

в форуме Объявления участников Форума

Nataly-Mak

2

997

16 ноя 2015, 13:01

Простые числа-близнецы. Простое детское задание

в форуме Алгебра

Aksutenko

1

228

05 май 2019, 13:14

Простые числа

в форуме Теория чисел

Julia124

9

1025

07 ноя 2015, 17:55

Простые числа

в форуме Теория чисел

Diego_D

8

648

29 мар 2016, 17:31

Простые числа

в форуме Алгебра

vkid_velikii

9

291

12 ноя 2021, 21:16

Простые числа

в форуме Теория чисел

vorvalm

172

5022

08 фев 2016, 10:24

Простые числа

в форуме Теория чисел

Galina Alexandrovna

15

1723

14 мар 2019, 20:22

Простые числа

в форуме Теория чисел

ammo77

1

297

11 июн 2019, 13:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved