Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 13:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти ньютонов потенциал в точке [math]P(x, y, z)[/math] однородного шара [math]\xi^2+\eta^2+\zeta^2\le R^2[/math] плотности [math]\rho_0[/math] .

Привожу свое решение.

Повернем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром шара, а точка [math]P[/math] лежала на положительной полуоси [math]O\zeta_1[/math]. Тогда уравнение сферы, ограничивающей шар, примет вид [math]\xi_1^2+\eta_1^2+\zeta_1^2=R^2[/math], а точка [math]P[/math] имеет координаты [math](0, 0, d)[/math]. По формуле для ньютоновского потенциала имеем
[math]u(x, y, z)=u_1(0, 0, d)=\iiint\limits_{\xi_1^2+\eta_1^2+\zeta_1^2\le R^2}\dfrac{\rho_0\,d\xi_1 d\eta_1 d\zeta_1}{\sqrt{\xi_1^2+\eta_1^2+(\zeta_1-d)^2}}.[/math]

Перейдем к сферическим координатам: [math]\xi_1=r\sin\theta\cos\varphi[/math], [math]\eta_1=r\sin\theta\sin\varphi[/math], [math]\zeta_1=r\cos\theta[/math]. Учитывая, что якобиан отображения [math]J=r^2\sin\theta[/math], а [math]\sqrt{\xi_1^2+\eta_1^2+(\zeta_1-d)^2}=\sqrt{r^2+d^2-2rd\cos\theta}[/math], и сводя тройной интеграл к повторному, получим
\begin{multline*}
u(x, y, z)=\rho_0\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^Rr^2\,dr\int\limits_0^{\pi}\frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{r^2+d^2-2rd\cos\theta}}=\frac{2\pi\rho_0}d\int\limits_0^Rr(r+d-|r-d|)\,dr=
\begin{cases}
2\pi\rho_0R^2, & \text{ если } r\ge d\\
\frac{4\pi\rho_0R^3}{3d}, & \text{ если } r<d
\end{cases}.
\end{multline*}

Но в ответах немного иначе
\begin{multline*}
u(x, y, z)=
\begin{cases}
2\pi\rho_0\left(R^2-\frac{d^2}3\right), & \text{ если } r\ge d\\
\frac{4\pi\rho_0R^3}{3d}, & \text{ если } r<d
\end{cases}.
\end{multline*}

В чем я не прав?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:31 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math1love
Это у вас опять упражнение из Демидовича на тройные интегралы? С точки зрения физики всё гораздо проще.
math1love писал(а):
если r<d

Как это понять? Что у вас означают эти буквы? Что такое [math]R[/math] , я понял.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:37 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
math1love
Это у вас опять упражнение из Демидовича на тройные интегралы? С точки зрения физики всё гораздо проще.
math1love писал(а):
если r<d

Как это понять? Что у вас означают эти буквы? Что такое [math]R[/math] , я понял.

Да, снова Демидович и тройные интегралы) А, точно! Я в обозначениях запутался... [math]r[/math] это же переменная...
Увы, я не физик :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:41 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math1love писал(а):
По формуле для ньютоновского потенциала имеем

Откуда вы взяли эту формулу? Если точка находится внутри шара, то я бы в границе интегрирования поставил [math]d[/math] вместо [math]R[/math], поскольку та часть шара, которая находится от центра дальше нашей точки, на результат не влияет. И на границе шара должна получаться непрерывность в ответе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:42 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math1love писал(а):
если r<d.

Точнее может [math]R<d[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:43 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
math1love писал(а):
По формуле для ньютоновского потенциала имеем

Откуда вы взяли эту формулу?

В Демидовиче есть, и в Интернете повсюду встречал.
searcher писал(а):
Если точка находится внутри шара, то я бы в границе интегрирования поставил [math]d[/math] вместо [math]R[/math], поскольку та часть шара, которая находится от центра дальше нашей точки, на результат не влияет. И на границе шара должна получаться непрерывность в ответе.

Да, я так сейчас и решил, спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
math1love писал(а):
если r<d.

Точнее может [math]R<d[/math] ?

Именно так, говорю же, запутался в обозначениях)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 23 янв 2020, 22:49 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С точки зрения физики, потенциал шара вне шара можно считать, как будто вся масса шара сосредоточена в центре шара. А внутри шара потенциал можно считать как будто вся масса в цетнтре, но только той части шара, которая ближе к центру, чем наша точка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ньютонов потенциал в точке однородного ша
СообщениеДобавлено: 24 янв 2020, 19:50 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Если точка находится внутри шара, то я бы в границе интегрирования поставил d вместо R
, поскольку та часть шара, которая находится от центра дальше нашей точки, на результат не влияет. И на границе шара должна получаться непрерывность в ответе.

searcher писал(а):
А внутри шара потенциал можно считать как будто вся масса в цетнтре, но только той части шара, которая ближе к центру, чем наша точка.

Это я вчера ерунду написал.
math1love писал(а):
В чем я не прав?

Просто самый последний интеграл с модулем неправильно взят.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ньютонов потенциал поверхности

в форуме Интегральное исчисление

AnnaV

1

216

22 ноя 2016, 12:41

Напряженность и потенциал поля в точке подвеса шарика

в форуме Электричество и Магнетизм

jennet_k

0

507

04 ноя 2014, 10:52

Будет ли потенциал во внутренней точке заключенной между

в форуме Векторный анализ и Теория поля

bdfn90

2

600

09 фев 2011, 12:16

Найти: 1) grad z в точке А. 2) производную в точке А по напр

в форуме Векторный анализ и Теория поля

rawsik

10

3815

18 ноя 2011, 12:54

Найти потенциал поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

VanoF

15

1073

23 дек 2013, 12:01

Найти потенциал и напряженность

в форуме Электричество и Магнетизм

Dirolina

7

807

29 ноя 2016, 23:09

Найти потенциал поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

pspfreez

1

626

28 дек 2013, 18:33

найти потенциал векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

LEN0CHKA

1

1071

07 янв 2011, 10:48

Найти потенциал векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Student91

4

2029

19 янв 2011, 09:23

Как найти скалярный потенциал по его градиенту?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

alex345

1

245

11 авг 2016, 09:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved