Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 13:22 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Шар радиуса [math]a[/math] погружен в жидкость постоянной плотности [math]\delta[/math] на глубину [math]h[/math] (считая от центра шара), где [math]h\ge a[/math]. Найти силу давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шаровой поверхности.

Решаю задачи на тему приложения двойных интегралов к механике, и после нахождения моментов инерции и координат центра тяжести, попалась эта задача, а как ее решить даже идей нет..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 18:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1503
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
275 раз в 268 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь, мне привычнее плотность обозначать [math]\rho[/math], а радиус шара R Рассмотрим случай, когда шар погружен полностью в жидкость на глубину h=R. Рассмотрим силу действующую на нижнюю часть шара. На каждую эл. площадку ds с нормалью [math]\vec{n}[/math] будет действовать сила [math]d\vec{F}=p*dS* \vec{n}[/math]. Горизонтальные составляющие этой силы, очевидно, в силу симметрии будут взаимно компенсироваться. Вертикальная составляющая будет, вводя сферические координаты: [math]dF_{v} = -p*dS*cos \theta[/math] ; [math]\pi \geqslant \theta \geqslant \frac{ \pi }{ 2 }[/math]. [math]dS=R^{2}sin \theta d \varphi d \theta[/math] ; [math]p= \rho gh=\rho g\left( R-R* cos\theta \right)[/math]. Интегрируем:
[math]F_{v}=\iiint\limits_{ S }dF_{v}=- \rho gR^{3}\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{\frac{ \pi }{ 2} }^{ \pi } \left( 1-cos \theta \right)cos \theta sin \theta d \theta=\frac{ 5 }{ 3 } \pi \rho gR^{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
math1love, Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 20:29 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 862
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
440 раз в 365 сообщениях
Очков репутации: 87

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Закон Архимеда, примененный к полушариям, дает следующую формулу для силы давления:
[math]\pi \rho gR^2\left( h \pm \frac{ 2 }{ 3 }R \right)[/math].
Знаки плюс и минус в формуле соответствуют нижней и верхней половинкам.
Если задача не на законы механики, а на интегральное исчисление, то так решать (через Архимеда) нельзя наверное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 21:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Извиняюсь, мне привычнее плотность обозначать [math]\rho[/math], а радиус шара R Рассмотрим случай, когда шар погружен полностью в жидкость на глубину h=R. Рассмотрим силу действующую на нижнюю часть шара. На каждую эл. площадку ds с нормалью [math]\vec{n}[/math] будет действовать сила [math]d\vec{F}=p*dS* \vec{n}[/math]. Горизонтальные составляющие этой силы, очевидно, в силу симметрии будут взаимно компенсироваться. Вертикальная составляющая будет, вводя сферические координаты: [math]dF_{v} = -p*dS*cos \theta[/math] ; [math]\pi \geqslant \theta \geqslant \frac{ \pi }{ 2 }[/math]. [math]dS=R^{2}sin \theta d \varphi d \theta[/math] ; [math]p= \rho gh=\rho g\left( R-R* cos\theta \right)[/math]. Интегрируем:
[math]F_{v}=\iiint\limits_{ S }dF_{v}=- \rho gR^{3}\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{\frac{ \pi }{ 2} }^{ \pi } \left( 1-cos \theta \right)cos \theta sin \theta d \theta=\frac{ 5 }{ 3 } \pi \rho gR^{3}[/math]


Я попытался решить и у меня вышло так.. Можете посмотреть?

Пусть шар, ограниченный сферой [math]S=\{x^2+y^2+z^2=a^2\}[/math], погружен в жидкость на глубину [math]h[/math]. Тогда глубина погружения в жидкость точки [math](x, y, z)\in S[/math] равна [math]d=h-z~(-a\le z\le h)[/math]. Следовательно, глубина погружения в жидкость точек верхней полусферы [math]S_1[/math] и точек нижней полусферы [math]S_2[/math] соответственна равна [math]d=h-\sqrt{a-(x^2+y^2)}[/math] и [math]d=h+\sqrt{a-(x^2+y^2)}[/math]. На элементарную площадку [math]ds[/math] с нормалью [math]\vec{n}[/math] будет действовать сила [math]d\vec{F}=p\vec{n}\,dS[/math]. Рассмотрим силы [math]\vec{F}_1[/math] и [math]\vec{F}_2[/math] давления жидкости, действующие на верхнюю и нижнюю части шаровой поверхности. Горизонтальные составляющие этих сил, очевидно, в силу симметрии будут взаимно компенсироваться, поэтому проекции этих сил на оси [math]Ox[/math] и [math]Oy[/math] равны нулю. Пусть [math]\gamma[/math] - угол между положительным направлением силы давления жидкости в каждой точке шаровой поверхности и положительным направлением оси [math]Oz[/math], тогда
[math]F_1=\iint\limits_{S_1}d\delta\cos\gamma\,dS=-\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2}\delta(h-\sqrt{a-(x^2+y^2)}\,)\,dxdy.[/math]
Перейдем к полярным координатам:
[math]F_1=-\delta\pi h a^2+\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar\sqrt{1-r^2}dr=-\delta\pi a^2\left(h-\frac{2a}3\right)\!.[/math]
Аналогично находим
[math]F_2=\iint\limits_{S_2}d\delta\cos\gamma\,dS=\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2}\delta(h+\sqrt{a-(x^2+y^2)}\,)\,dxdy=\delta\pi a^2\left(h+\frac{2a}3\right)\!.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 21:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Закон Архимеда, примененный к полушариям, дает следующую формулу для силы давления:
[math]\pi \rho gR^2\left( h \pm \frac{ 2 }{ 3 }R \right)[/math].
Знаки плюс и минус в формуле соответствуют нижней и верхней половинкам.
Если задача не на законы механики, а на интегральное исчисление, то так решать (через Архимеда) нельзя наверное.

Задача как раз на интегральное исчисление...
У меня получился ответ очень близкий к Вашему, только отсутствует ускорение свободного падения...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 21:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1503
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
275 раз в 268 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]p= \rho gh[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 05 янв 2020, 21:58 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
[math]p= \rho gh[/math]

То есть нужно просто добавить [math]g[/math] ? А все остальное верно?
Я просто не до конца уверен в записи [math]F_1=\iint\limits_{S_1}d\delta\cos\gamma\,dS=-\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2}\delta(h-\sqrt{a-(x^2+y^2)}\,)\,dxdy.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 06 янв 2020, 08:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5878
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
921 раз в 875 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
math1love
Откуда у вас угол [math]\gamma[/math] взялся? Он тут вообще не при делах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 06 янв 2020, 11:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1503
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
275 раз в 268 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно, конечно, решать задачу и в декартовых координатах, но тут явно более подойдут сферические.
Для нижней части шара:
[math]F_{vb}=\iiint\limits_{ S }dF_{v}=- \rho gR^{2}\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{\frac{ \pi }{ 2} }^{ \pi } \left( h-R*cos \theta \right)cos \theta sin \theta d \theta= \pi \rho gR^{2}\left( h+\frac{ 2 }{ 3 }R \right)[/math]
Для верхней части:
[math]F_{vt}=\iiint\limits_{ S }dF_{v}= \rho gR^{2}\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{0 }^{ \frac{ \pi }{ 2}} \left( h-R*cos \theta \right)cos \theta sin \theta d \theta= \pi \rho gR^{2}\left( h-\frac{ 2 }{ 3 }R \right)[/math]
Сила Архимеда:
[math]F=F_{vb}-F_{vt}=\frac{ 4 }{ 3 }\pi \rho gR^{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
math1love
 Заголовок сообщения: Re: Сила давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шара
СообщениеДобавлено: 06 янв 2020, 13:01 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 окт 2018, 23:30
Сообщений: 77
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
math1love
Откуда у вас угол [math]\gamma[/math] взялся? Он тут вообще не при делах.

Ну, ведь нужно найти проекцию..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти нижнюю грань inf и верхнюю sup

в форуме Интегральное исчисление

fedor3099

0

150

05 июн 2014, 17:47

Найти нижнюю и верхнюю интегральные суммы для функции y=x^3

в форуме Интегральное исчисление

andreinmoscow

9

1115

11 мар 2013, 03:20

Показать, что функция имеет верхнюю и нижнюю грань

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

e7min

4

114

16 янв 2019, 15:20

Найти для данного множества верхнюю и нижнюю грани

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Alinmora

2

214

02 янв 2016, 19:39

Сила давления и реакции опоры

в форуме Школьная физика

Teratore

1

378

18 фев 2016, 20:20

зависимость давления жидкости от температуры

в форуме Школьная физика

gnb

0

623

10 янв 2011, 22:12

Определить силу давления жидкости на основания цилиндра

в форуме Механика

math1love

13

48

06 янв 2020, 20:54

Найти площадь части шара

в форуме Интегральное исчисление

Vjunerty

0

70

04 июн 2019, 20:29

Объем части шара ограниченного вертикальными плоскостями

в форуме Геометрия

noyon

12

215

19 фев 2019, 12:38

Теоретическая задача про нижнюю грань

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

letunx

3

472

08 окт 2014, 18:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved