Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Substantia |
|
|
Видео результата опыта с такими идентичными телами на поверхности стола: https://www.youtube.com/watch?v=jDoK7EGgn10 Ещё одно видео с результатами опыта с подвешенными на нитях этими же идентичными телами: https://www.youtube.com/watch?v=91r6olcHWjY Исхожу из того, что силой трения и силой, необходимой для придания углового ускорения блоку, можно или пренебречь ввиду их малости, или впоследствии их учесть, при необходимости. Математическое описания результатов опыта основывал на законе сохранения энергии в замкнутой системе, согласно которому до момента начала взаимодействия тел аддитивная неопределённая величина полной энергии каждого из них определяется суммой потенциальных и кинетических энергий, последние из которых определяются в соответствии с теоремой Кёнига, а величина потенциальной энергии её источника, входящего в состав замкнутой системы, тоже является величиной неопределённой: - для первого тела: \begin{equation} W_{\Sigma_1}=W_{pot_1}+W_{kin_{v_1}}+W_{kin_{\omega_1}}=W_{pot_1}+\frac{m_{1}\cdot v_{1}^2}{2}+\frac{J_{1}\cdot\omega_{1}^2}{2}=const; \end{equation} - для второго тела: \begin{equation} W_{\Sigma_2}=W_{pot_2}+W_{kin_{v_2}}+W_{kin_{\omega_2}}=W_{pot_2}+\frac{m_{2}\cdot v_{2}^2}{2}+\frac{J_{2}\cdot\omega_{2}^2}{2}=const \end{equation} Суммарная величина кинетических и потенциальных энергий, входящих в её состав тел, остаётся величиной постоянной: \begin{equation} W_{\Sigma}=W_{pot_1}+W_{kin_{v_1}}+W_{kin_{\omega_1}}+W_{pot_2}+W_{kin_{v_2}}+W_{kin_{\omega_2}}=W_{pot_1}\frac{m_{1}\cdot v_{1}^2}{2}+\frac{J_{1}\cdot\omega_{1}^2}{2}+W_{pot_2}+\frac{m_{2}\cdot v_{2}^2}{2}+\frac{J_{2}\cdot\omega_{2}^2}{2}=const \end{equation} Дифференциал постоянной величины всей суммарной энергии такой замкнутой системы равен нулю: \begin{equation} dW_{\Sigma}=dW_{\Sigma_1}+dW_{\Sigma_2}=m_1\cdot{a_1\cdot v_1\cdot dt}+m_1\cdot{da_1\cdot v_1\cdot t}+{J_1\cdot\varepsilon_1\cdot\omega_1}\cdot dt+{J_1\cdot d\varepsilon_1\cdot\omega_1}\cdot t+dW_{pot_1}+m_2\cdot{a_2\cdot v_2\cdot dt}+m_2\cdot{da_2\cdot v_2\cdot t}+{J_2\cdot\varepsilon_2\cdot\omega_2}\cdot dt+{J_2\cdot d\varepsilon_2\cdot\omega_2}\cdot t+dW_{pot_2}= \end{equation} \begin{equation} =m_1\cdot{a^2_1\cdot t\cdot dt}+m_1\cdot{da_1\cdot a_1\cdot t^2}+{J_1\cdot\varepsilon^2_1\cdot t}\cdot dt+{J_1\cdot d\varepsilon_1\cdot\varepsilon_1}\cdot t^2+dW_{pot_1}+m_2\cdot{a^2_2\cdot t\cdot dt}+m_2\cdot{da_2\cdot a_2\cdot t^2}+{J_2\cdot\varepsilon^2_2\cdot t}\cdot dt+{J_2\cdot d\varepsilon_2\cdot\varepsilon_2}\cdot t^2+dW_{pot_2}=0 \end{equation} Учитывая, что второй дифференциал от x равен 0 только тогда, когда x - независимая переменная или линейная функция от независимой переменной и в этом случае любой дифференциал [math]dx^n=0~(n\ge2),[/math] поэтому второй дифференциал функции представляет собой уравнение нулевой быстроты (скорости) изменения мощности преобразования энергии: \begin{equation} m_1\cdot{a^2_1}+{J_1\cdot\varepsilon^2_1}+m_2\cdot{a^2_2}+{J_2\cdot\varepsilon^2_2}=0 \end{equation} Из него следует равенство: \begin{equation} m_1\cdot{a^2_1}+{J_1\cdot\varepsilon^2_1}=-m_2\cdot{a^2_2}-{J_2\cdot\varepsilon^2_2}, \end{equation} которое представляет собой математическую форму записи закона преобразования кинетической энергии в замкнутой системе, согласно которому быстрота изменения мощностей преобразования кинетических энергий поступательного и вращательного движения взаимодействующих тел всегда равны друг другу. Преобразуя \eqref{4.1.6}, видим, что сумма скоростей изменения мощностей преобразования энергий поступательного движения обоих тел всегда равна скорости изменения мощности преобразования энергии вращательного движения этих же тел, взятой с обратным знаком: \begin{equation}\label{4.1.7} m_1\cdot{a^2_1}+m_2\cdot{a^2_2}=-{J_1\cdot\varepsilon^2_1}-{J_2\cdot\varepsilon^2_2} \end{equation} Следствие закона преобразования механической энергии в замкнутой системе: \textbf{сумма скоростей изменения мощностей преобразования энергий поступательного движения взаимодействующих тел всегда равна сумме скоростей изменения мощностей преобразования энергии вращательного движения этих же тел, взятой с обратным знаком}. Поскольку в представленных опытах взаимодействуют идентичные тела, то, разделив обе части равенства на m1=m2, получаем следующий вид равенства: \begin{equation} {a^2_1}+{{r^2_1\cdot\varepsilon^2_1}}=-{a^2_2}-{{r^2_2\cdot\varepsilon^2_2}} \end{equation} В замкнутой системе, когда центр масс Тела 1 взаимодействует только с поверхностью вращения Тела 2, ускорение $\varepsilon_1$ вращательного движения Тела 1 равно нулю, поэтому равенство принимает вид: \begin{equation} {a^2_1}=-{a^2_2}-{{r^2_2\cdot\varepsilon^2_2}} \end{equation} Модули правой и левой части этого равенства равны друг другу: \begin{equation} |{a^2_1}|=|(-{a^2_2})+(-{r_2\cdot\varepsilon^2_2})| \end{equation} Имеет место быть следующее неравенство [Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие. 5-е изд., стер. --- СПб: Издательство "<Лань">, 2007. --- 416 стр.: илл. (Учебники для вузов. Специальная литература. (с.~34)]:[math]|a+b|\le|a|+|b|[/math] Исходя из условия этого неравенства, модуль суммы двух величин в правой части, по крайней мере, равен сумме модулей этих же величин: \begin{equation} |(-{a^2_2})+(-{r_2\cdot\varepsilon^2_2})|=|(-{a^2_2})|+|(-{r_2\cdot\varepsilon^2_2})| \end{equation} Следовательно, сумма модулей слагаемых правой части равенстве равна модулю левой части этого же равенства: \begin{equation} |{a^2_1}|=|(-{a^2_2})|+|(-{r_2\cdot\varepsilon^2_2})| \end{equation} А поскольку сумма двух, не равных нулю величин, всегда больше любой из них, то следует: \begin{equation} |{a^2_1}|>|(-{a^2_2})| \end{equation} Преобразуем к виду: \begin{equation} {a^2_1}+{a^2_2}=-{{r^2_2\cdot\varepsilon^2_2}} \end{equation} Левая часть этого равенства характеризует собой результирующее ускорение a поступательного движения общего центра масс всей замкнутой системы, для определения которого извлечём корни квадратные из обеих частей этого равенства и получаем следующий результат: \begin{equation} \pm a_{}=\pm\sqrt{{a^2_1}+{a^2_2}}=\pm i\cdot\varepsilon_2\cdot r_2 \end{equation} С учётом того, что [math]v=a\cdot[/math]t, скорость поступательного движения центра масс всей замкнутой системы определяется зависимостью: \begin{equation} v_{1,2}=\pm a_{}\cdot t=\pm\sqrt{{a^2_1}+{a^2_2}}\cdot t=\pm i\cdot\varepsilon_2\cdot r_2\cdot t \end{equation} А поскольку знаки ускорений в указывают не на их направления, а на их возрастание - при знаке (+) или на их убывание - при знаке (-), то следует, что существую два равноправных равенства возможных соотношений между характером изменения (убывания или возрастания) величин ускорений поступательного и вращательного движения замкнутой изменяемой многомассовой системы тел: \begin{equation} a_{1}=+i\cdot\varepsilon_2\cdot r_2; \end{equation} \begin{equation} a_{2}=-i\cdot\varepsilon_2\cdot r_2; \end{equation} Из этого следует, что возрастание или убывание результирующего ускорения поступательного движения общего центра масс всей замкнутой механической системы взаимодействующих тел возможно как при убывании, так и при возрастании ортогональной по отношению к его направлению изменения составляющей результирующего ускорения [math]\varepsilon_2[/math] вращательного движения Тела 2, умноженного на его радиус r2. Для того, чтобы определить ту величину внутренней силы тяги F замкнутой системы, которая необходима для придания общей её массе [math]m_\Sigma=m_1+m_2[/math] заданной величины ускорения a её поступательного движения, необходимо умножить обе части равенства на величину всей массы [math]m_\Sigma=2\cdot m[/math] этой системы и правую часть равенства ещё умножить и разделить на радиус r2 поверхности вращения Тела 2: \begin{equation} F_{1,2}=\pm 2\cdot a_{}\cdot m=\pm 2\cdot i\cdot\frac{\varepsilon_2\cdot r^2_2\cdot m}{r_2}=\pm 2\cdot i\cdot\frac{\varepsilon_2\cdot J_2}{r_2}=\pm 2\cdot i \cdot \frac{M_2}{r_2} \end{equation} Из этого следует, что величина силы тяги F, приложенной к общему центру масс замкнутой системы, равна частному от деления удвоенной величины момента M2 от действия этой силы тяги F, когда она приложена к поверхности вращения Тела 2 с его моментом инерции [math]J_2=m\cdot r^2_2[/math] Если это возможно, помогите, пожалуйста, проверьте, верны ли математические описания и соответствуют ли они результатам опытов. |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Источник в котором описаны все математические закорючки | 2 |
481 |
08 апр 2017, 07:21 |
|
Где описаны применения мат. анализа в области геометрии? | 4 |
558 |
21 июл 2021, 05:48 |
|
Вероятность в повторениях разных опытов
в форуме Теория вероятностей |
5 |
242 |
29 ноя 2017, 14:08 |
|
В лаборатории проводится серия из 400 опытов
в форуме Теория вероятностей |
3 |
267 |
15 июн 2021, 15:09 |
|
Частота события при небольшом числе опытов
в форуме Теория вероятностей |
4 |
205 |
07 июл 2018, 12:39 |
|
Результаты эксперимента
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
11 |
404 |
20 фев 2020, 18:10 |
|
Стоит ли подавать апелляцию на результаты ЕГЭ?
в форуме Алгебра |
9 |
230 |
15 июн 2023, 19:46 |
|
Не сходятся результаты минимизации СДНФ | 0 |
135 |
13 дек 2019, 22:14 |
|
Приведены результаты независимых наблюдений над величиной Х | 0 |
374 |
08 мар 2018, 13:25 |
|
Спрогнозировать результаты матча на основе исходных данных | 8 |
471 |
03 апр 2018, 11:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |