Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачка на время сближения двух тел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=45&t=55649
Страница 1 из 1

Автор:  Dender [ 13 сен 2017, 00:04 ]
Заголовок сообщения:  Задачка на время сближения двух тел

Помогите решить задачку:
На расстоянии S в состоянии покоя находятся 2 материальные точки с массами Mx и My. Через какое время они столкнутся?

Пытаюсь решить так:
x(t) и y(t) - уравнения движений точек по времени. Расстояние между ними s(t) = x(t) - y(t). Нужно найти t, при котором s(t) = 0.
Сила действующая на каждую точку F(t) = G * Mx * My / s(t)[math]^{2}[/math], где G - гравитационная постоянная. Сила для обоих точек одинакова по модулю и отличается по знаку, а так же равна массе умноженной на ускорение: F(t) = x''(t) * Mx = - y''(t) * My, где ускорение - вторая производная уравнения движения. Откуда можно вывести:
x''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] и y''(t) = - G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math]
Взяв формулу s(t) = x(t) - y(t) и продифференцировав её дважды получаем: s''(t) = x''(t) - y''(t).
Подставив ускорения из предыдущих формул, получим: s''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] + G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math].
Сократив, получим: s''(t) = G * (My + Mx) / s(t)[math]^{2}[/math].
Заменив А = G * (My + Mx), получаем дифференциальное уравнение s'' = A / s[math]^{2}[/math], где s функция по t.

А вот дальше мне удалось частично решить полученное дифференциальное уравнение. Остальную часть дорешал где-то в интернете через онлайн-расчет неопределенного интеграла (очень громоздкое решение). Но полученная формула (здесь не привожу так как очень большая) не имеет решения при s = 0 и более того, даже не стремится к какому либо пределу, при s->0.

Но задача точно имеет решение (точки столкнутся за конечное время). Возможно надо решать по другому или у меня в рассуждениях ошибка? Подскажите, пожалуйста.

Автор:  Talanov [ 13 сен 2017, 00:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка на время сближения двух тел

Сила обратно прапорциональна квадрату расстояния.

Автор:  ivashenko [ 13 сен 2017, 02:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка на время сближения двух тел

Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя?

Автор:  Dender [ 13 сен 2017, 04:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка на время сближения двух тел

ivashenko писал(а):
Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя?


При разных массах будут разные ускорения. Но даже если взять одинаковые массы, следовательно одинаковые ускорения, то форма дифференциального уравнения не изменится. И вопрос - как его решить - остается.

Автор:  michel [ 13 сен 2017, 09:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка на время сближения двух тел

С помощью Mathcad задача решается быстро: с начальными массами mx=1, my=2, S=2 (гравитационная постоянная принята равной 1) два тела сталкиваются в момент времени t=1,8 c (с небольшим)
Изображение

Автор:  Dender [ 13 сен 2017, 15:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка на время сближения двух тел

Решение существует и оно где-то рядом.
По решению диф. уравнения:
s'' = A / s [math]^{2}[/math]
Делаем замену v = s', тогда s'' = v' * v. Подставляем в уравнение и дифференцируем по s:
v' * v = A / s [math]^{2}[/math], v[math]\cdot[/math]dv = [math]\frac{ A }{ s^{2} }[/math][math]\cdot ds[/math],
[math]\frac{ v^{2} }{ 2 }[/math] = -[math]\frac{ A }{ s }[/math] + C
Можем вычислить C:
Примем начальный момент времени равным 0. Расстояние в начальный момент времени дано в условии задачи, обозначим его S[math]_{0}[/math]. Это максимальное расстояние (так как точки все время сближаются, пока не столкнутся) - соответственно максимальное значение функции s(t). При этом s(0) = S[math]_{0}[/math].
Так как v является скоростью (v = s') и мы знаем скорость в начальный момент времени - она равна нулю, v(0) = 0.
Подставим в полученную формулу значения функций при t = 0: [math]\frac{ v(0)^{2} }{ 2 }[/math] = C - [math]\frac{ A }{ s(0) }[/math]. Откуда С = [math]\frac{ A }{ S_{0} }[/math]. В итоге v = [math]\pm[/math] [math]\sqrt{2A \cdot \left( \frac{ 1 }{ S_{0} } - \frac{ 1 }{ s } \right) }[/math].
Дальше начинается непонятное. Может в вычислениях ошибка. Потому что функция полученной скорости (она есть разница между скоростями точек) не существует при s < S[math]_{0}[/math].

Автор:  michel [ 13 сен 2017, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка на время сближения двух тел

Коэффициент А должен быть отрицательным в исходном дифференциальном уравнении для случая гравитационной силы притяжения. Ошибка была в первом посте, когда взяли расстояние S как простую разность координат х и у. Фактически у Вас получается, что расстояние S принимает отрицательные значения...

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/