Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Задачка на время сближения двух тел http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=45&t=55649 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Dender [ 12 сен 2017, 23:04 ] |
Заголовок сообщения: | Задачка на время сближения двух тел |
Помогите решить задачку: На расстоянии S в состоянии покоя находятся 2 материальные точки с массами Mx и My. Через какое время они столкнутся? Пытаюсь решить так: x(t) и y(t) - уравнения движений точек по времени. Расстояние между ними s(t) = x(t) - y(t). Нужно найти t, при котором s(t) = 0. Сила действующая на каждую точку F(t) = G * Mx * My / s(t)[math]^{2}[/math], где G - гравитационная постоянная. Сила для обоих точек одинакова по модулю и отличается по знаку, а так же равна массе умноженной на ускорение: F(t) = x''(t) * Mx = - y''(t) * My, где ускорение - вторая производная уравнения движения. Откуда можно вывести: x''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] и y''(t) = - G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math] Взяв формулу s(t) = x(t) - y(t) и продифференцировав её дважды получаем: s''(t) = x''(t) - y''(t). Подставив ускорения из предыдущих формул, получим: s''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] + G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math]. Сократив, получим: s''(t) = G * (My + Mx) / s(t)[math]^{2}[/math]. Заменив А = G * (My + Mx), получаем дифференциальное уравнение s'' = A / s[math]^{2}[/math], где s функция по t. А вот дальше мне удалось частично решить полученное дифференциальное уравнение. Остальную часть дорешал где-то в интернете через онлайн-расчет неопределенного интеграла (очень громоздкое решение). Но полученная формула (здесь не привожу так как очень большая) не имеет решения при s = 0 и более того, даже не стремится к какому либо пределу, при s->0. Но задача точно имеет решение (точки столкнутся за конечное время). Возможно надо решать по другому или у меня в рассуждениях ошибка? Подскажите, пожалуйста. |
Автор: | Talanov [ 12 сен 2017, 23:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка на время сближения двух тел |
Сила обратно прапорциональна квадрату расстояния. |
Автор: | ivashenko [ 13 сен 2017, 01:01 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка на время сближения двух тел |
Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя? |
Автор: | Dender [ 13 сен 2017, 03:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка на время сближения двух тел |
ivashenko писал(а): Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя? При разных массах будут разные ускорения. Но даже если взять одинаковые массы, следовательно одинаковые ускорения, то форма дифференциального уравнения не изменится. И вопрос - как его решить - остается. |
Автор: | michel [ 13 сен 2017, 08:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка на время сближения двух тел |
С помощью Mathcad задача решается быстро: с начальными массами mx=1, my=2, S=2 (гравитационная постоянная принята равной 1) два тела сталкиваются в момент времени t=1,8 c (с небольшим) |
Автор: | Dender [ 13 сен 2017, 14:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка на время сближения двух тел |
Решение существует и оно где-то рядом. По решению диф. уравнения: s'' = A / s [math]^{2}[/math] Делаем замену v = s', тогда s'' = v' * v. Подставляем в уравнение и дифференцируем по s: v' * v = A / s [math]^{2}[/math], v[math]\cdot[/math]dv = [math]\frac{ A }{ s^{2} }[/math][math]\cdot ds[/math], [math]\frac{ v^{2} }{ 2 }[/math] = -[math]\frac{ A }{ s }[/math] + C Можем вычислить C: Примем начальный момент времени равным 0. Расстояние в начальный момент времени дано в условии задачи, обозначим его S[math]_{0}[/math]. Это максимальное расстояние (так как точки все время сближаются, пока не столкнутся) - соответственно максимальное значение функции s(t). При этом s(0) = S[math]_{0}[/math]. Так как v является скоростью (v = s') и мы знаем скорость в начальный момент времени - она равна нулю, v(0) = 0. Подставим в полученную формулу значения функций при t = 0: [math]\frac{ v(0)^{2} }{ 2 }[/math] = C - [math]\frac{ A }{ s(0) }[/math]. Откуда С = [math]\frac{ A }{ S_{0} }[/math]. В итоге v = [math]\pm[/math] [math]\sqrt{2A \cdot \left( \frac{ 1 }{ S_{0} } - \frac{ 1 }{ s } \right) }[/math]. Дальше начинается непонятное. Может в вычислениях ошибка. Потому что функция полученной скорости (она есть разница между скоростями точек) не существует при s < S[math]_{0}[/math]. |
Автор: | michel [ 13 сен 2017, 15:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задачка на время сближения двух тел |
Коэффициент А должен быть отрицательным в исходном дифференциальном уравнении для случая гравитационной силы притяжения. Ошибка была в первом посте, когда взяли расстояние S как простую разность координат х и у. Фактически у Вас получается, что расстояние S принимает отрицательные значения... |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |