Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 00:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2017, 23:07
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить задачку:
На расстоянии S в состоянии покоя находятся 2 материальные точки с массами Mx и My. Через какое время они столкнутся?

Пытаюсь решить так:
x(t) и y(t) - уравнения движений точек по времени. Расстояние между ними s(t) = x(t) - y(t). Нужно найти t, при котором s(t) = 0.
Сила действующая на каждую точку F(t) = G * Mx * My / s(t)[math]^{2}[/math], где G - гравитационная постоянная. Сила для обоих точек одинакова по модулю и отличается по знаку, а так же равна массе умноженной на ускорение: F(t) = x''(t) * Mx = - y''(t) * My, где ускорение - вторая производная уравнения движения. Откуда можно вывести:
x''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] и y''(t) = - G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math]
Взяв формулу s(t) = x(t) - y(t) и продифференцировав её дважды получаем: s''(t) = x''(t) - y''(t).
Подставив ускорения из предыдущих формул, получим: s''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] + G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math].
Сократив, получим: s''(t) = G * (My + Mx) / s(t)[math]^{2}[/math].
Заменив А = G * (My + Mx), получаем дифференциальное уравнение s'' = A / s[math]^{2}[/math], где s функция по t.

А вот дальше мне удалось частично решить полученное дифференциальное уравнение. Остальную часть дорешал где-то в интернете через онлайн-расчет неопределенного интеграла (очень громоздкое решение). Но полученная формула (здесь не привожу так как очень большая) не имеет решения при s = 0 и более того, даже не стремится к какому либо пределу, при s->0.

Но задача точно имеет решение (точки столкнутся за конечное время). Возможно надо решать по другому или у меня в рассуждениях ошибка? Подскажите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 00:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8191
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 370
Спасибо получено:
1417 раз в 1292 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сила обратно прапорциональна квадрату расстояния.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 02:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3188
Cпасибо сказано: 218
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 04:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2017, 23:07
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя?


При разных массах будут разные ускорения. Но даже если взять одинаковые массы, следовательно одинаковые ускорения, то форма дифференциального уравнения не изменится. И вопрос - как его решить - остается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 09:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1416
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
520 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С помощью Mathcad задача решается быстро: с начальными массами mx=1, my=2, S=2 (гравитационная постоянная принята равной 1) два тела сталкиваются в момент времени t=1,8 c (с небольшим)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 15:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2017, 23:07
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение существует и оно где-то рядом.
По решению диф. уравнения:
s'' = A / s [math]^{2}[/math]
Делаем замену v = s', тогда s'' = v' * v. Подставляем в уравнение и дифференцируем по s:
v' * v = A / s [math]^{2}[/math], v[math]\cdot[/math]dv = [math]\frac{ A }{ s^{2} }[/math][math]\cdot ds[/math],
[math]\frac{ v^{2} }{ 2 }[/math] = -[math]\frac{ A }{ s }[/math] + C
Можем вычислить C:
Примем начальный момент времени равным 0. Расстояние в начальный момент времени дано в условии задачи, обозначим его S[math]_{0}[/math]. Это максимальное расстояние (так как точки все время сближаются, пока не столкнутся) - соответственно максимальное значение функции s(t). При этом s(0) = S[math]_{0}[/math].
Так как v является скоростью (v = s') и мы знаем скорость в начальный момент времени - она равна нулю, v(0) = 0.
Подставим в полученную формулу значения функций при t = 0: [math]\frac{ v(0)^{2} }{ 2 }[/math] = C - [math]\frac{ A }{ s(0) }[/math]. Откуда С = [math]\frac{ A }{ S_{0} }[/math]. В итоге v = [math]\pm[/math] [math]\sqrt{2A \cdot \left( \frac{ 1 }{ S_{0} } - \frac{ 1 }{ s } \right) }[/math].
Дальше начинается непонятное. Может в вычислениях ошибка. Потому что функция полученной скорости (она есть разница между скоростями точек) не существует при s < S[math]_{0}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на время сближения двух тел
СообщениеДобавлено: 13 сен 2017, 16:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1416
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
520 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коэффициент А должен быть отрицательным в исходном дифференциальном уравнении для случая гравитационной силы притяжения. Ошибка была в первом посте, когда взяли расстояние S как простую разность координат х и у. Фактически у Вас получается, что расстояние S принимает отрицательные значения...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачка на "скорость время расстояние"

в форуме Алгебра

sfanter

15

402

29 сен 2014, 13:08

Задачка про движение двух тел

в форуме Алгебра

Elizabesu

5

192

30 апр 2015, 16:15

Задача о двух игроках и двух урнах

в форуме Теория вероятностей

Raketa

2

86

07 апр 2017, 19:08

Останови время

в форуме Размышления по поводу и без

Ioan147

2

195

29 май 2015, 23:52

Доброе время суток

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Afffiloss

0

86

14 янв 2016, 11:49

Как разделить координату и время?

в форуме Палата №6

ivashenko

68

2491

12 июн 2014, 15:40

Время варки яйца

в форуме Алгебра

Carasa

0

273

18 янв 2013, 16:35

Субстанциональное и реляционное время

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

6

113

13 сен 2017, 01:40

Среднее значение (время)

в форуме Размышления по поводу и без

julia843

2

90

09 июл 2016, 23:00

Время ожидания автобуса

в форуме Теория вероятностей

relike

2

262

16 сен 2015, 00:41


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved