Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Dender |
|
|
На расстоянии S в состоянии покоя находятся 2 материальные точки с массами Mx и My. Через какое время они столкнутся? Пытаюсь решить так: x(t) и y(t) - уравнения движений точек по времени. Расстояние между ними s(t) = x(t) - y(t). Нужно найти t, при котором s(t) = 0. Сила действующая на каждую точку F(t) = G * Mx * My / s(t)[math]^{2}[/math], где G - гравитационная постоянная. Сила для обоих точек одинакова по модулю и отличается по знаку, а так же равна массе умноженной на ускорение: F(t) = x''(t) * Mx = - y''(t) * My, где ускорение - вторая производная уравнения движения. Откуда можно вывести: x''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] и y''(t) = - G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math] Взяв формулу s(t) = x(t) - y(t) и продифференцировав её дважды получаем: s''(t) = x''(t) - y''(t). Подставив ускорения из предыдущих формул, получим: s''(t) = G * My / s(t)[math]^{2}[/math] + G * Mx / s(t)[math]^{2}[/math]. Сократив, получим: s''(t) = G * (My + Mx) / s(t)[math]^{2}[/math]. Заменив А = G * (My + Mx), получаем дифференциальное уравнение s'' = A / s[math]^{2}[/math], где s функция по t. А вот дальше мне удалось частично решить полученное дифференциальное уравнение. Остальную часть дорешал где-то в интернете через онлайн-расчет неопределенного интеграла (очень громоздкое решение). Но полученная формула (здесь не привожу так как очень большая) не имеет решения при s = 0 и более того, даже не стремится к какому либо пределу, при s->0. Но задача точно имеет решение (точки столкнутся за конечное время). Возможно надо решать по другому или у меня в рассуждениях ошибка? Подскажите, пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
Talanov |
|
|
Сила обратно прапорциональна квадрату расстояния.
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя?
|
||
Вернуться к началу | ||
Dender |
|
|
ivashenko писал(а): Вот Вы складываете ускорения каждой из точек и якобы получаете ускорение с которым расстояние между ними сокращается, но учитываете ли Вы при этом относительность движения? Не правильнее ли написать [math]s''(t) = G \frac{M_y}{s(t)^2} = G \frac{M_x}{s(t)^2}[/math]? Ведь материальные точки ускоряются по отношению друг к другу одинаково и это ускорение и есть ускорение с которым сокращается расстояние между ними? Или это у Вас ускорение точек относительно стороннего наблюдателя? При разных массах будут разные ускорения. Но даже если взять одинаковые массы, следовательно одинаковые ускорения, то форма дифференциального уравнения не изменится. И вопрос - как его решить - остается. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
С помощью Mathcad задача решается быстро: с начальными массами mx=1, my=2, S=2 (гравитационная постоянная принята равной 1) два тела сталкиваются в момент времени t=1,8 c (с небольшим)
|
||
Вернуться к началу | ||
Dender |
|
|
Решение существует и оно где-то рядом.
По решению диф. уравнения: s'' = A / s [math]^{2}[/math] Делаем замену v = s', тогда s'' = v' * v. Подставляем в уравнение и дифференцируем по s: v' * v = A / s [math]^{2}[/math], v[math]\cdot[/math]dv = [math]\frac{ A }{ s^{2} }[/math][math]\cdot ds[/math], [math]\frac{ v^{2} }{ 2 }[/math] = -[math]\frac{ A }{ s }[/math] + C Можем вычислить C: Примем начальный момент времени равным 0. Расстояние в начальный момент времени дано в условии задачи, обозначим его S[math]_{0}[/math]. Это максимальное расстояние (так как точки все время сближаются, пока не столкнутся) - соответственно максимальное значение функции s(t). При этом s(0) = S[math]_{0}[/math]. Так как v является скоростью (v = s') и мы знаем скорость в начальный момент времени - она равна нулю, v(0) = 0. Подставим в полученную формулу значения функций при t = 0: [math]\frac{ v(0)^{2} }{ 2 }[/math] = C - [math]\frac{ A }{ s(0) }[/math]. Откуда С = [math]\frac{ A }{ S_{0} }[/math]. В итоге v = [math]\pm[/math] [math]\sqrt{2A \cdot \left( \frac{ 1 }{ S_{0} } - \frac{ 1 }{ s } \right) }[/math]. Дальше начинается непонятное. Может в вычислениях ошибка. Потому что функция полученной скорости (она есть разница между скоростями точек) не существует при s < S[math]_{0}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Коэффициент А должен быть отрицательным в исходном дифференциальном уравнении для случая гравитационной силы притяжения. Ошибка была в первом посте, когда взяли расстояние S как простую разность координат х и у. Фактически у Вас получается, что расстояние S принимает отрицательные значения...
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задачка на "скорость время расстояние"
в форуме Алгебра |
15 |
729 |
29 сен 2014, 12:08 |
|
Задачка про движение двух тел
в форуме Алгебра |
5 |
481 |
30 апр 2015, 15:15 |
|
Выпадение на двух кубиках двух шестёрок три раза подряд
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
194 |
15 янв 2022, 04:31 |
|
Задача о двух игроках и двух урнах
в форуме Теория вероятностей |
2 |
353 |
07 апр 2017, 18:08 |
|
Что за время?
в форуме Палата №6 |
48 |
1176 |
18 янв 2020, 13:59 |
|
Задача на время
в форуме Алгебра |
5 |
306 |
27 янв 2019, 11:59 |
|
Останови время
в форуме Размышления по поводу и без |
2 |
446 |
29 май 2015, 22:52 |
|
Время истечения жидкости
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
404 |
05 ноя 2017, 09:37 |
|
Субстанциональное и реляционное время
в форуме Размышления по поводу и без |
6 |
434 |
13 сен 2017, 00:40 |
|
Среднее значение (время)
в форуме Размышления по поводу и без |
2 |
257 |
09 июл 2016, 22:00 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |