Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 18 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
slava_psk |
|
|
[math]V=\frac{ k }{ 2(x^{2}+y^{2}) }[/math] Где к -положительная константа. Требуется найти закон движения частицы при некоторых начальных условиях по координатам и скоростям. Пробую решить задачу в полярных координатах. [math]V(r, \varphi )=\frac{ k }{ r^{2} }[/math] [math]\vec{F}=-\operatorname{grad}V=\frac{ 4k }{r^{3} }\vec{i_{r} } -0\vec{i_{ \varphi } }[/math] С нахождением [math]\varphi (t)=C_{ \varphi 1}t+C_{ \varphi 2}[/math] все понятно. Интегрируем уравнение для r(t): [math]m\frac{d^{2}r }{ dt^{2} }=\frac{ 4k }{ r^{3} }[/math] Интегрирование этого уравнения приводит к интегралу: [math]\pm (t+C_{r2})=\int \frac{ r^{2}dr }{ \sqrt{C_{r1}r^{4} -\frac{ 24k }{ m } } }[/math] Этот интеграл просто в эл. функциях не берется. Может я где-то ошибаюсь? Прошу поправить. Задача взята из учебника. |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Виноват. ОШИБСЯ в интегрировании дифф. уравнения. Все будет гораздо проще и красивее. В понедельник исправлю.
|
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
Два первых интеграла: интеграл энергии и интеграл площадей (он же интеграл кинетического момента):
[math]\frac{m}{2}\big(\dot r^2+(\dot\varphi r)^2\big)+V=const_1;\quad r^2\dot \varphi=const_2[/math] Цитата: С нахождением φ(t)=Cφ1t+Cφ2 это неверно, вообще говоря |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Потенциал поля положителен, это значит, что сила будет стремиться отбрасывать частицу от центра.
[math]V(r, \varphi )=\frac{ k }{ 2r^{2} }[/math] Сила будет иметь только радиальную составляющую. [math]F_{r}=\frac{ k }{ r^{3} }[/math] [math]m\frac{ d^{2} \varphi }{ dt^{2} }=0[/math] [math]\varphi (t)=C_{1 \varphi }t+C_{2 \varphi }[/math] [math]C_{1 \varphi }=V_{ \varphi 0}; C_{2 \varphi }= \varphi _{0}[/math] Уравнение для r(t) [math]m\frac{ d^{2}r }{ dt^{2} }=\frac{ k }{ r^{3} }[/math] Интегрирование этого уравнения дает: [math]\frac{ dr }{ dt } = \pm \sqrt{C_{1}-\frac{ c }{ r^{2} } }; c=\frac{ k }{ m }[/math] Откуда [math]C_{1}=V_{r0}^{2}+\frac{ c }{ r_{0}^{2} }[/math] [math]r(t)=\sqrt{\frac{ c }{C _{1} }+C_{1}*(t+C_{2} )^{2} }[/math] ; [math]C_{2}=-\frac{ 1 }{ C_{1} }\sqrt{C_{1}r_{0}^{2} -c }[/math] Траектория частицы для [math]r_{0}=1;V_{r0}=-5; \varphi _{0}=0; V_{ \varphi 0} =2[/math] получается такая: |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
Ну понятно, мои намеки вы проигнорировали. Токуйте дальше
|
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Wrobel, хорошо, в чем я ошибаюсь? Можно пожалуйста поподробнее?
|
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
у вас уравнения движения неверно написаны, Ускорение в полярных координатах вычисляется по формуле
[math]\boldsymbol a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\boldsymbol e_r+(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\boldsymbol e_\varphi[/math] вот и подумайте как писать второй закон Ньютона |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Это серьезное возражение, я подумаю. Чтоб вам сразу меня поправить.
|
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
wrobel писал(а): Два первых интеграла: интеграл энергии и интеграл площадей (он же интеграл кинетического момента): [math]\frac{m}{2}\big(\dot r^2+(\dot\varphi r)^2\big)+V=const_1;\quad r^2\dot \varphi=const_2[/math] Цитата: С нахождением φ(t)=Cφ1t+Cφ2 это неверно, вообще говоря Если я правильно понимаю, то константы С1 и С2 при заданных начальных координатах и скоростях находятся прямо из этой системы? Спрашиваю потому, что нашел решение этой системы (для энергии и кинетического момента), но ответ получился не верный. [math]r(0)\ne r_{0}[/math] Хочу разобраться на каком этапе ошибаюсь. |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
в этой системе нет движений при которых угол поворота является линейной функцией времени (за исключением случая когда частица движется по прямой проходящей через отталкивающий центр)
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 18 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Движение материальной точки в силовом поле
в форуме Школьная физика |
19 |
654 |
21 мар 2018, 18:26 |
|
Движение в электромагнитном поле
в форуме Электричество и Магнетизм |
0 |
364 |
09 фев 2016, 16:25 |
|
Движение по кругу в магнитном поле
в форуме Электричество и Магнетизм |
1 |
519 |
23 апр 2018, 21:34 |
|
Движение астероида в гравитационном поле планеты
в форуме Механика |
4 |
180 |
20 окт 2019, 06:39 |
|
Определить удельный заряд частицы q/m и скорость частицы
в форуме Электричество и Магнетизм |
0 |
193 |
21 фев 2022, 20:30 |
|
Задача про частицы Кинематика
в форуме Механика |
21 |
134 |
27 мар 2024, 11:39 |
|
Бросаем частицы на квадрат
в форуме Теория вероятностей |
8 |
391 |
03 фев 2019, 18:21 |
|
Скорость и ускорение частицы
в форуме Механика |
3 |
699 |
02 июн 2014, 17:15 |
|
Найти вероятность попадания частицы в шар
в форуме Теория вероятностей |
0 |
262 |
09 ноя 2015, 03:10 |
|
Счетчик регистрирует частицы трех типов А,В и С
в форуме Теория вероятностей |
2 |
253 |
14 окт 2020, 19:42 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |