Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 28 июл 2017, 12:21 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Такая задача. Силовое плоское поле задано потенциалом в декартовых координатах:

[math]V=\frac{ k }{ 2(x^{2}+y^{2}) }[/math] Где к -положительная константа. Требуется найти закон движения частицы при некоторых начальных условиях по координатам и скоростям. Пробую решить задачу в полярных координатах.

[math]V(r, \varphi )=\frac{ k }{ r^{2} }[/math] [math]\vec{F}=-\operatorname{grad}V=\frac{ 4k }{r^{3} }\vec{i_{r} } -0\vec{i_{ \varphi } }[/math]

С нахождением [math]\varphi (t)=C_{ \varphi 1}t+C_{ \varphi 2}[/math] все понятно. Интегрируем уравнение для r(t):

[math]m\frac{d^{2}r }{ dt^{2} }=\frac{ 4k }{ r^{3} }[/math]

Интегрирование этого уравнения приводит к интегралу:

[math]\pm (t+C_{r2})=\int \frac{ r^{2}dr }{ \sqrt{C_{r1}r^{4} -\frac{ 24k }{ m } } }[/math]

Этот интеграл просто в эл. функциях не берется. Может я где-то ошибаюсь? Прошу поправить. Задача взята из учебника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 28 июл 2017, 17:15 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Виноват. ОШИБСЯ в интегрировании дифф. уравнения. Все будет гораздо проще и красивее. В понедельник исправлю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 28 июл 2017, 19:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Два первых интеграла: интеграл энергии и интеграл площадей (он же интеграл кинетического момента):
[math]\frac{m}{2}\big(\dot r^2+(\dot\varphi r)^2\big)+V=const_1;\quad r^2\dot \varphi=const_2[/math]


Цитата:
С нахождением φ(t)=Cφ1t+Cφ2

это неверно, вообще говоря

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 16:52 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потенциал поля положителен, это значит, что сила будет стремиться отбрасывать частицу от центра.

[math]V(r, \varphi )=\frac{ k }{ 2r^{2} }[/math]

Сила будет иметь только радиальную составляющую. [math]F_{r}=\frac{ k }{ r^{3} }[/math]

[math]m\frac{ d^{2} \varphi }{ dt^{2} }=0[/math] [math]\varphi (t)=C_{1 \varphi }t+C_{2 \varphi }[/math]
[math]C_{1 \varphi }=V_{ \varphi 0}; C_{2 \varphi }= \varphi _{0}[/math]

Уравнение для r(t)

[math]m\frac{ d^{2}r }{ dt^{2} }=\frac{ k }{ r^{3} }[/math]

Интегрирование этого уравнения дает: [math]\frac{ dr }{ dt } = \pm \sqrt{C_{1}-\frac{ c }{ r^{2} } }; c=\frac{ k }{ m }[/math]

Откуда [math]C_{1}=V_{r0}^{2}+\frac{ c }{ r_{0}^{2} }[/math]

[math]r(t)=\sqrt{\frac{ c }{C _{1} }+C_{1}*(t+C_{2} )^{2} }[/math] ; [math]C_{2}=-\frac{ 1 }{ C_{1} }\sqrt{C_{1}r_{0}^{2} -c }[/math]

Траектория частицы для [math]r_{0}=1;V_{r0}=-5; \varphi _{0}=0; V_{ \varphi 0} =2[/math]
получается такая:
Изображение


Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 17:07 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну понятно, мои намеки вы проигнорировали. Токуйте дальше

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 17:10 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wrobel, хорошо, в чем я ошибаюсь? Можно пожалуйста поподробнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 17:19 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
у вас уравнения движения неверно написаны, Ускорение в полярных координатах вычисляется по формуле

[math]\boldsymbol a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\boldsymbol e_r+(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\boldsymbol e_\varphi[/math]


вот и подумайте как писать второй закон Ньютона

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 17:23 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это серьезное возражение, я подумаю. Чтоб вам сразу меня поправить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 13:36 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
Два первых интеграла: интеграл энергии и интеграл площадей (он же интеграл кинетического момента):
[math]\frac{m}{2}\big(\dot r^2+(\dot\varphi r)^2\big)+V=const_1;\quad r^2\dot \varphi=const_2[/math]


Цитата:
С нахождением φ(t)=Cφ1t+Cφ2

это неверно, вообще говоря


Если я правильно понимаю, то константы С1 и С2 при заданных начальных координатах и скоростях находятся прямо из этой системы? Спрашиваю потому, что нашел решение этой системы (для энергии и кинетического момента), но ответ получился не верный. [math]r(0)\ne r_{0}[/math] Хочу разобраться на каком этапе ошибаюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Движение частицы в силовом поле.
СообщениеДобавлено: 01 авг 2017, 15:42 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
в этой системе нет движений при которых угол поворота является линейной функцией времени (за исключением случая когда частица движется по прямой проходящей через отталкивающий центр)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Движение элементарной частицы Где ошибка

в форуме Механика

VitaliyK

9

454

16 авг 2013, 00:51

Движение в электромагнитном поле

в форуме Электричество и Магнетизм

ful317

0

137

09 фев 2016, 17:25

Движение в гравитационном поле Земли

в форуме Школьная физика

Andrej

1

410

19 дек 2011, 16:32

Получить из фунцкии частицы

в форуме Дифференциальное исчисление

ieatmeat

1

233

23 авг 2013, 22:21

Определить скорость частицы

в форуме Электричество и Магнетизм

alexandra555

5

548

24 ноя 2011, 15:58

Скорость и ускорение частицы

в форуме Механика

Merhaba

3

319

02 июн 2014, 18:15

Найти вероятность попадания частицы в шар

в форуме Теория вероятностей

TeorVer

0

68

09 ноя 2015, 04:10

Фундаментальные частицы - это неделимые атомы Демокрита?

в форуме Размышления по поводу и без

Jefferson

2

197

30 июл 2015, 01:44

Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее

в форуме Школьная физика

Vladimir28091995

2

219

07 ноя 2016, 15:04

Вычислить поляризуемость частицы, пользуясь теорией возмущен

в форуме Атомная и Ядерная физика

Kat9Krotova

0

835

31 май 2013, 10:53


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved