Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ugarovIvan |
|
|
Найти: траектории по которым будут двигаться жук и кольцо и угловую скорость жука относительно плоскости [math]\omega_x[/math]. Моё решение: так как система замкнута и в горизонтальной плоскости внешних сил нет, то Центр Масс, ЦМ, системы, по теореме о движении ЦМ, будет покоится относительно плоскости. Так как жук может двигаться только по кольцу и само кольцо принимаем за абсолютно жёсткое тело (нет деформаций), то и жук и центр кольца [math]O[/math] будут двигаться по концентрическим окружностям центром которых будет общий центр масс системы жук-кольцо. Расстояние от жука до ОЦМ будет: [math]r_1 = R \frac{M}{M+m}[/math] Расстояние от центра кольца до ОЦМ будет: [math]r_2 = R \frac{m}{M+m}[/math] Так как кольцо это окружность, то в любой момент времени все три точки - жук, ОЦМ и центр кольца будут находится на одной прямой. А это значит что угловые скорости и жука и центра кольца относительнои плоскости (вокруг Общего Центра Масс) будут одинаковыми и по модулю и по направлению. Значит, по Закону Сохранения Момента Импульса замкнутой сустемы, в покоящейся СО (относительно плоскости) имеем: [math]0 = mr_{1}^2\omega_x + Mr_{2}^2\omega_x[/math] Однако, жук толкает лапками кольцо в направлении противоположном направлению своего бега по кольцу. Допустим что жук побежал по кольцу против часовой стрелки. Тогда и жук и центр кольца будут вращаться вокруг ОЦМ против часовой стрелки. Относительно центра кольца жук тоже бежит против часовой стрелки, с уг. скор. [math]\omega_1[/math]. А вот само кольцо вращается вокруг собственного центра масс, точки [math]O[/math], по часовой стрелке с угловой скоростью [math]\omega_2[/math], которая как вектор должна быть направлена против [math]\omega_1[/math]. Значит в уравнение ЗСМИ добавляем момент импульса кольца: [math]0 = mr_{1}^2\omega_x + Mr_{2}^2\omega_x - MR^2\omega_2[/math] Угловые скорости очевидно связаны так: [math]\omega_x = \omega_1 - \omega_2[/math] Решаем два уравнения с двумя неизвестными. У меня получается: [math]\omega_x = - \omega_1 \frac {M+m}{M}[/math] [math]\omega_2 = - \omega_1 \frac{m}{M +m}[/math] Мой вопрос: я не уверен что знаки получились верные - ведь относитеьно плоскости (вокруг ОЦМ) жук ведь тоже должен вращаться в том же направлении в котором он бежит по кольцу. То есть как векторы [math]\omega_x[/math] и [math]\omega_1[/math] должны быть в одном направлении, а у меня получились разные. Не подскажете, где у меня ошибка? Заранее спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
введем подвижную систему координат Sxyz, в которой S это неподвижный центр масс системы жук-обруч; ось z смотрит на нас, а ось x проходит через центр окружности О и жука G. Кинетический момент системы относительно центра масс равен нулю: [math]\boldsymbol K_S=m[\boldsymbol{SG},\boldsymbol v_G]+M[\boldsymbol{SO},\boldsymbol v_O]+J\boldsymbol \omega=0,\quad J=MR^2[/math] где [math]\boldsymbol \omega[/math] -- угловая скорость обруча. Через [math]\boldsymbol \Omega[/math] обозначим угловую скорость системы Sxyz. Тогда [math]\boldsymbol v_O=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {SO}],\quad \boldsymbol v_G=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {SG}][/math]Что бы замкнуть систему уравнений нам надо найти связь между [math]\boldsymbol \Omega[/math] и [math]\boldsymbol \omega[/math]. Угловая скорость обруча относительно системы Sxyz равна [math]\boldsymbol \nu=\boldsymbol\omega-\boldsymbol\Omega[/math]. Соответственно скорость жука относительно обруча (а эта скорость фактически задана) равна [math]\boldsymbol u=[-\boldsymbol\nu,\boldsymbol{OG}][/math] Расписываем векторные уравнения по системе Sxyz... |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
у меня получился вполне адекватный ответ. на языке топикстартера [math]\boldsymbol\Omega[/math] это "угловая скорость жука относительно плоскости", а [math]-\boldsymbol\nu[/math] -- "угловая скорость жука относительно кольца"
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали: ugarovIvan |
||
ugarovIvan |
|
|
Спасибо. Я со знаками поспешил, да и с арифметикой там в конце напутал.
Теперь, в Ваших обозначениях: [math]\frac{mR^2M^2}{(M+m)^2}\Omega + \frac{MR^2m^2}{(M+m)^2}\Omega + MR^2\omega = 0[/math] [math]\omega = \Omega - \nu[/math] Решая эту систему уравнений, получаем: [math]\Omega = \nu \frac{M+m}{M+2m}[/math] [math]\omega = -\nu \frac {m}{M+2m}[/math] Теперь вроде похоже на правду. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Жук ползет по расширяющейся окружности | 3 |
565 |
02 окт 2015, 16:20 |
|
Божья коровка ползет вверх | 21 |
702 |
13 ноя 2022, 15:29 |
|
Божья коровка ползет вверх – 2 | 4 |
249 |
17 ноя 2022, 10:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |