Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Жук Ползёт По Кольцу
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 20:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2016, 18:57
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Условие: на абсолютно гладкой (нет трения) горизонтальной плоскости покоится кольцо радиуса [math]R[/math] и массы [math]M[/math]. На кольце покоится жук массы [math]m[/math]. В некоторый момент времени жук начинает ползти по кольцу с постоянной и данной угловой скоростью относительно кольца [math]\omega_1[/math].

Найти: траектории по которым будут двигаться жук и кольцо и угловую скорость жука относительно плоскости [math]\omega_x[/math].

Моё решение: так как система замкнута и в горизонтальной плоскости внешних сил нет, то Центр Масс, ЦМ, системы, по теореме о движении ЦМ, будет покоится относительно плоскости. Так как жук может двигаться только по кольцу и само кольцо принимаем за абсолютно жёсткое тело (нет деформаций), то и жук и центр кольца [math]O[/math] будут двигаться по концентрическим окружностям центром которых будет общий центр масс системы жук-кольцо.

Расстояние от жука до ОЦМ будет:

[math]r_1 = R \frac{M}{M+m}[/math]


Расстояние от центра кольца до ОЦМ будет:

[math]r_2 = R \frac{m}{M+m}[/math]


Так как кольцо это окружность, то в любой момент времени все три точки - жук, ОЦМ и центр кольца будут находится на одной прямой. А это значит что угловые скорости и жука и центра кольца относительнои плоскости (вокруг Общего Центра Масс) будут одинаковыми и по модулю и по направлению. Значит, по Закону Сохранения Момента Импульса замкнутой сустемы, в покоящейся СО (относительно плоскости) имеем:

[math]0 = mr_{1}^2\omega_x + Mr_{2}^2\omega_x[/math]


Однако, жук толкает лапками кольцо в направлении противоположном направлению своего бега по кольцу. Допустим что жук побежал по кольцу против часовой стрелки. Тогда и жук и центр кольца будут вращаться вокруг ОЦМ против часовой стрелки. Относительно центра кольца жук тоже бежит против часовой стрелки, с уг. скор. [math]\omega_1[/math]. А вот само кольцо вращается вокруг собственного центра масс, точки [math]O[/math], по часовой стрелке с угловой скоростью [math]\omega_2[/math], которая как вектор должна быть направлена против [math]\omega_1[/math]. Значит в уравнение ЗСМИ добавляем момент импульса кольца:

[math]0 = mr_{1}^2\omega_x + Mr_{2}^2\omega_x - MR^2\omega_2[/math]


Угловые скорости очевидно связаны так:

[math]\omega_x = \omega_1 - \omega_2[/math]


Решаем два уравнения с двумя неизвестными. У меня получается:

[math]\omega_x = - \omega_1 \frac {M+m}{M}[/math]

[math]\omega_2 = - \omega_1 \frac{m}{M +m}[/math]


Мой вопрос: я не уверен что знаки получились верные - ведь относитеьно плоскости (вокруг ОЦМ) жук ведь тоже должен вращаться в том же направлении в котором он бежит по кольцу. То есть как векторы [math]\omega_x[/math] и [math]\omega_1[/math] должны быть в одном направлении, а у меня получились разные.

Не подскажете, где у меня ошибка? Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Жук Ползёт По Кольцу
СообщениеДобавлено: 13 дек 2016, 08:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

введем подвижную систему координат Sxyz, в которой S это неподвижный центр масс системы жук-обруч; ось z смотрит на нас, а ось x проходит через центр окружности О и жука G.

Кинетический момент системы относительно центра масс равен нулю:
[math]\boldsymbol K_S=m[\boldsymbol{SG},\boldsymbol v_G]+M[\boldsymbol{SO},\boldsymbol v_O]+J\boldsymbol \omega=0,\quad J=MR^2[/math]
где [math]\boldsymbol \omega[/math] -- угловая скорость обруча. Через [math]\boldsymbol \Omega[/math] обозначим угловую скорость системы Sxyz. Тогда [math]\boldsymbol v_O=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {SO}],\quad \boldsymbol v_G=[\boldsymbol \Omega,\boldsymbol {SG}][/math]

Что бы замкнуть систему уравнений нам надо найти связь между [math]\boldsymbol \Omega[/math] и [math]\boldsymbol \omega[/math].
Угловая скорость обруча относительно системы Sxyz равна [math]\boldsymbol \nu=\boldsymbol\omega-\boldsymbol\Omega[/math]. Соответственно скорость жука относительно обруча (а эта скорость фактически задана) равна [math]\boldsymbol u=[-\boldsymbol\nu,\boldsymbol{OG}][/math]
Расписываем векторные уравнения по системе Sxyz...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Жук Ползёт По Кольцу
СообщениеДобавлено: 13 дек 2016, 16:24 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
у меня получился вполне адекватный ответ. на языке топикстартера [math]\boldsymbol\Omega[/math] это "угловая скорость жука относительно плоскости", а [math]-\boldsymbol\nu[/math] -- "угловая скорость жука относительно кольца"

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
ugarovIvan
 Заголовок сообщения: Re: Жук Ползёт По Кольцу
СообщениеДобавлено: 13 дек 2016, 19:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2016, 18:57
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Я со знаками поспешил, да и с арифметикой там в конце напутал.

Теперь, в Ваших обозначениях:
[math]\frac{mR^2M^2}{(M+m)^2}\Omega + \frac{MR^2m^2}{(M+m)^2}\Omega + MR^2\omega = 0[/math]

[math]\omega = \Omega - \nu[/math]

Решая эту систему уравнений, получаем:
[math]\Omega = \nu \frac{M+m}{M+2m}[/math]

[math]\omega = -\nu \frac {m}{M+2m}[/math]

Теперь вроде похоже на правду.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Жук ползет по расширяющейся окружности

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

3

565

02 окт 2015, 16:20

Божья коровка ползет вверх

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

MurChik

21

702

13 ноя 2022, 15:29

Божья коровка ползет вверх – 2

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

MurChik

4

249

17 ноя 2022, 10:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved