Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти удлинение свободно подвешенного стержня
СообщениеДобавлено: 06 апр 2011, 22:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 14:32
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача на физическое приложение определенного интеграла.

Найти удлинение свободно подвешенного стержня длины [math]l[/math] и поперечного сечения [math]S[/math] под действием его собственного веса. Плотность материала стержня равна [math]\rho[/math].( По закону Гука удлинение стержня длиной [math]l[/math] постоянного сечения [math]S[/math] под действием растягивающей нормальной силы [math]P[/math] определяется формулой [math]\Delta l = Pl/ES[/math], где [math]E[/math]-модуль упругости материала,из которого сделан стержень).
Дано:
[math]l[/math]=3 м
[math]S[/math]=2 см^2
[math]E[/math]=21.6*10^10 н/м^2
[math]\rho[/math]=7,8 г/см^3
[math]g[/math]=9.81 м/с^2
Я так понял нужно как то через интеграл найти силу P, только как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Физическое приложение определенного интеграла
СообщениеДобавлено: 06 апр 2011, 23:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1629
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
562 раз в 448 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найдем сперва силу опругости действующую на сечение стержня. Для этого рассмотрим кусочек стержня длиной [math]\triangle x[/math], обозначим удлинение конца с координатой [math]x[/math] как [math]u(x)[/math], а удлинение конца с координатой [math]x+\triangle x[/math] как [math]u(x+\triangle x)[/math] тогда результирующая сила упругости возникающая в этом кусочке равна [math]f=ES\frac{u(x+\triangle x)}{\triangle x}-ES\frac{u(x)}{\triangle x}=ES\frac{u(x+\triangle x)-u(x)}{\triangle x}[/math]. Теперь устремим длину [math]\triangle x\to0[/math], тогда получим
[math]f(x)=ES\frac{du(x)}{dx}[/math]. А теперь можно перейти к рассматриваемой задаче. Пусть начало координат находится в точке где подвешен стержень, тогда на сечение стержня в точке [math]x[/math] действуют две силы уравновешивающие друг друга, сила упругости [math]f(x)=ES\frac{du(x)}{dx}[/math] и сила тяжести свободного конца [math]\rho gS(l-x)[/math], таким образом получаем уравнение:
[math]ES\frac{du}{dx}=\rho gS(l-x)[/math]
получаем выражение для величины удленения [math]u[/math]:
[math]u=\frac{\rho g}{E}\int_0^{l}(l-x)dx=\frac{\rho gl^2}{2E}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю lexus666 "Спасибо" сказали:
gosu, mad_math, valentina
 Заголовок сообщения: Re: Найти удлинение свободно подвешенного стержня
СообщениеДобавлено: 18 дек 2019, 12:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 дек 2019, 12:01
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lexus666
Скажите, а как в ваших математических рассуждениях учесть то, что уже деформированный стержень имеет не исходную длину, а немного короче?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти удлинение свободно подвешенного стержня
СообщениеДобавлено: 18 дек 2019, 15:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1629
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
562 раз в 448 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
gosu

не понял вопроса...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти удлинение свободно подвешенного стержня
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 02:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 дек 2019, 12:01
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lexus666
Вы пишете, что интегрирование проводим от нуля до до значения, равного длине стержня в не деформированном состоянии, но ведь он уже деформирован, т.е. мы уже рассматриваем стержень другой длины и, вообще говоря, другой плотности. Каким образом это учесть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти удлинение свободно подвешенного стержня
СообщениеДобавлено: 19 дек 2019, 13:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 11:30
Сообщений: 1629
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
562 раз в 448 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще закон Гука который используется при решении задачи справедлив когда относительное удлинение очень мало [math]u\cdot l^{-1}\ll1[/math], поэтому учет изменения длины стержня будет являться величиной более высокого порядка малости. Но если очень хочется то это удлинение, можно учесть наверное так: если мы считаем, что стержень растягивается очень сильно, то и площадь сечения и плотность материала стержня меняются (считаем что модуль Юнга при этом константа), тогда выше приведенное уравнение запишется в виде (далее с индексом 0 не изменяющиеся величины, а с индексом 1 с учетом деформации):

[math]E\frac{d}{dx}S(x)u(x)=g\int\limits_{0}^{l_1-x}S(z)\rho(z)dz[/math]

с дополнительным условием (масса не меняется):

[math]m=\int\limits_0^{l_1}S(x)\rho(x)dx=\rho_0S_0l_0=const[/math]

Однако этого условия, по видимому, будет не достаточно для решения задачи. Можно получить еще одно условие. Разобьем не деформированный стержень на одинаковой количество элементов длинной [math]\triangle x[/math], ясно что масса любого из них не изменится после подвеса, т.е.:

[math]\int\limits_{0}^{\triangle x_i+\triangle u_i}S(x)\rho(x)dx=\rho_0S_0\triangle x_i[/math]

используя теорему о среднем и устремляя [math]\triangle x_i\to 0[/math] получим еще одно условие:

[math]\left(1+\frac{du}{dx}\right)S(x)\rho(x)=S_0\rho_0[/math]

ну и граничные условия [math]u(0)=u'(l_1)=0[/math]. На первый взгляд я вижу такую возможную (наверное) постановку задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Определить максимальное удлинение пружины AB в см

в форуме Механика

Empire1411

7

1550

18 сен 2012, 17:33

Динамика. Задача на |v| для отклонения подвешенного шара

в форуме Школьная физика

MaiorPain

1

266

16 июн 2017, 16:13

Какой путь пройдет свободно падающее из состояния покоя те

в форуме Механика

Abdullin

4

2941

25 окт 2011, 17:27

Найти массу стержня, если известна его линейная плотность

в форуме Интегральное исчисление

Lorein

5

1981

12 апр 2010, 17:07

Найти: момент инерции, массу прямолин. стержня, коорд. центр

в форуме Интегральное исчисление

ZMEJ

0

560

30 май 2013, 10:46

Два жестких стержня

в форуме Механика

cuttheknot

23

350

16 май 2018, 03:18

Момент инерции стержня

в форуме Механика

SkiFach

1

68

05 ноя 2019, 23:17

Момент инерции стержня

в форуме Механика

kamenniy_ostrov

2

259

14 июн 2015, 22:46

Натяжение стержня маятника

в форуме Механика

Kuka

21

1189

12 июн 2012, 14:20

Напряженность поля бесконечного стержня

в форуме Электричество и Магнетизм

DeusEx

1

776

19 мар 2014, 17:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved