Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
wrobel |
|
|
Угловая скорость. Свяжем c твердым телом положительный ортонормированный репер [math]\boldsymbol e_1\boldsymbol e_2\boldsymbol e_3.[/math] Твердое тело движется относительно декартовой системы координат [math]Oxyz[/math] поэтому [math]\boldsymbol e_k=\boldsymbol e_k(t),\quad k=1,2,3.[/math] Введем (аксиальный) вектор [math]\boldsymbol \omega=(\dot{\boldsymbol e}_2,\boldsymbol e_3)\boldsymbol e_1+(\dot{\boldsymbol e}_3,\boldsymbol e_1)\boldsymbol e_2+(\dot{\boldsymbol e}_1,\boldsymbol e_2)\boldsymbol e_3.\qquad (1)[/math] Лемма. Верны следующие формулы Пуассона: [math]\dot{\boldsymbol e}_k=[\boldsymbol \omega,\boldsymbol e_k],\quad k=1,2,3.[/math] Доказательство. Дифференцируя равенства [math](\boldsymbol e_i,\boldsymbol e_j)=\delta_{ij}[/math] по времени, получаем[math](\dot{\boldsymbol e}_i,\boldsymbol e_j)+(\boldsymbol e_i,\dot{\boldsymbol e}_j)=0[/math], в частности [math](\dot{\boldsymbol e}_i,\boldsymbol e_i)=0[/math]. C помощью этих формул, в правильности формул Пуассона можно убедиться прямой подстановкой в них вектора (1). Теорема (формула Эйлера). Существует и при том единственный (аксиальный) вектор[math]\boldsymbol \omega[/math] такой, что для любых двух точек [math]A,B[/math] твердого тела верна формула [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol{BA}][/math]. Определение. Вектор [math]\boldsymbol\omega[/math] называется угловой скоростью твердого тела. Доказательство теоремы. A) Существование. Продифференцируем векторное равенство [math]\boldsymbol{OA}=\boldsymbol{OB}+\boldsymbol{BA}[/math] [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+\frac{d\boldsymbol {BA}}{dt}[/math] Разложим вектор [math]\boldsymbol{BA}[/math] по базису: [math]\boldsymbol{BA}=\sum_{k=1}^3 x_k\boldsymbol e_k[/math]; отсюда с помощью формул Пуассона получаем [math]\frac{d\boldsymbol {BA}}{dt}=\sum_{k=1}^3 x_k\dot{\boldsymbol e}_k=\sum_{k=1}^3 x_k[\boldsymbol\omega,\boldsymbol e_k]=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BA}]\qquad (2)[/math] Б) Единственность. Предположим, что имеется еще один вектор[math]\boldsymbol \omega'\ne\boldsymbol\omega[/math] удовлетворяющий условию теоремы: [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+[\boldsymbol \omega',\boldsymbol{BA}][/math]. Вычитая эту формулу из формулы ,стоящей в теореме , получаем [math][\boldsymbol \omega-\boldsymbol \omega',\boldsymbol{BA}]=0[/math]. Поскольку точки [math]A,B[/math] являются произвольными точками твердого тела, из последней формулы следует, что [math]\boldsymbol \omega-\boldsymbol \omega'=0[/math]. Противоречие. Теорема доказана. Важный пример. Пусть твердое тело вращается вокруг оси [math]z[/math] так, что [math]\boldsymbol e_1=\cos\varphi\boldsymbol e_x+\sin\varphi \boldsymbol e_y,\quad \boldsymbol e_2=\cos\varphi\boldsymbol e_y-\sin\varphi \boldsymbol e_x,\quad \boldsymbol e_3=\boldsymbol e_z ,[/math] где [math]\varphi=\varphi(t)[/math] -- угол поворота твердого тела вокруг оси [math]z[/math]. Найдем угловую скость. Продифференцируем первую из этих формул: [math]\dot{\boldsymbol e}_1=(-\sin\varphi\boldsymbol e_x+\cos\varphi \boldsymbol e_y)\dot\varphi=\dot\varphi\boldsymbol e_2,[/math] аналогично, [math]\dot{\boldsymbol e}_2=-\dot\varphi\boldsymbol e_1.[/math] Заметим еще, что [math]\dot{\boldsymbol e}_3=0[/math]. Подставляя эти формулы в (1) находим [math]\boxed{\boldsymbol\omega=\dot\varphi \boldsymbol e_z}[/math] Эта формула вместе с формулой сложения угловых скоростей позволяет находить угловую скорость твердого тела, не пользуясь определением. Дифференцируя формулу Эйлера, с учетом (2) получаем формулу Ривальса распределения ускорений в твердом теле: [math]\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_B+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{BA}]+[\boldsymbol\omega,[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BA}]],[/math] где [math]\boldsymbol\varepsilon=\dot{\boldsymbol\omega}[/math] -- угловое ускорение твердого тела. Качение без проскальзывания. Пусть твердое тело (на рисунке овал, заштрихованый точками) катится без проскальзывания c угловой скоростью [math]\boldsymbol \omega[/math] по неподвижной поверхности. Через [math]P[/math] обозначим точку тела, которой оно касается поверхности в данный момент; через [math]A[/math] обозначим точку контакта, которая движется по поверхности со скоростью [math]\boldsymbol v_A[/math]. Геометрически точки [math]A[/math] и [math]P[/math] совпадают. Теорема (Я. В. Татаринов) [math]\boldsymbol a_P=-[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_A][/math]. Доказательство. Верхними индексами [math]r,e,c[/math] будем обозначать относительные, переносные, кориолисовы скорости и ускорения. Введем подвижную систему координат, жестко связанную с твердым телом. Тогда [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_A^r+\boldsymbol v_A^e[/math]. По условию тело не проскальзывает: [math]\boldsymbol v_A^e=\boldsymbol v_P=0[/math] и значит [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_A^r[/math]. Продифференцируем последнее равенство по времени [math]\boldsymbol a_A=\frac{\delta}{\delta t}\boldsymbol v_A^r+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol v_A^r]=\boldsymbol a_A^r+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol v_A^r]\qquad (1)[/math] здесь [math]\frac{\delta}{\delta t}[/math] -- производная по времени относительно подвижной системы. С другой стороны [math]\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_A^r+\boldsymbol a_A^e+\boldsymbol a_A^c\qquad (2)[/math] причем [math]\boldsymbol a_A^e=\boldsymbol a_P,\quad \boldsymbol a_A^c=2[\boldsymbol \omega,\boldsymbol v_A^r].[/math] Вычитая из (2) (1) получаем требуемый результат. |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача из Кинематики
в форуме Механика |
3 |
662 |
02 апр 2014, 13:46 |
|
Задача из кинематики вращательного движения
в форуме Механика |
2 |
262 |
29 окт 2017, 23:31 |
|
Обратная задача кинематики манипулятора
в форуме Механика |
1 |
80 |
26 дек 2023, 21:10 |
|
Элементы
в форуме Теория вероятностей |
1 |
301 |
14 янв 2015, 13:30 |
|
Элементы комбинаторики
в форуме Теория вероятностей |
6 |
380 |
03 сен 2015, 16:19 |
|
Элементы многоугольников
в форуме Геометрия |
17 |
1222 |
23 янв 2016, 18:05 |
|
Элементы комбинаторики
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
10 |
661 |
27 фев 2016, 00:02 |
|
Элементы комбинаторики
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
0 |
394 |
17 янв 2016, 15:17 |
|
Элементы комбинаторики | 1 |
745 |
21 ноя 2014, 20:40 |
|
Выписать элементы A
в форуме Алгебра |
3 |
96 |
28 окт 2021, 17:27 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: pirog и гости: 5 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |