Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Элементы кинематики
СообщениеДобавлено: 24 сен 2015, 16:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ПОЖАЛУЙСТА это не переносите пока в "Объявления", эта тема тут по договоренности с Alexdemath открыта

Угловая скорость.
Свяжем c твердым телом положительный ортонормированный репер [math]\boldsymbol e_1\boldsymbol e_2\boldsymbol e_3.[/math] Твердое тело движется относительно декартовой системы координат [math]Oxyz[/math] поэтому [math]\boldsymbol e_k=\boldsymbol e_k(t),\quad k=1,2,3.[/math]
Введем (аксиальный) вектор
[math]\boldsymbol \omega=(\dot{\boldsymbol e}_2,\boldsymbol e_3)\boldsymbol e_1+(\dot{\boldsymbol e}_3,\boldsymbol e_1)\boldsymbol e_2+(\dot{\boldsymbol e}_1,\boldsymbol e_2)\boldsymbol e_3.\qquad (1)[/math]


Лемма. Верны следующие формулы Пуассона: [math]\dot{\boldsymbol e}_k=[\boldsymbol \omega,\boldsymbol e_k],\quad k=1,2,3.[/math]

Доказательство. Дифференцируя равенства [math](\boldsymbol e_i,\boldsymbol e_j)=\delta_{ij}[/math] по времени, получаем[math](\dot{\boldsymbol e}_i,\boldsymbol e_j)+(\boldsymbol e_i,\dot{\boldsymbol e}_j)=0[/math], в частности [math](\dot{\boldsymbol e}_i,\boldsymbol e_i)=0[/math]. C помощью этих формул, в правильности формул Пуассона можно убедиться прямой подстановкой в них вектора (1).

Теорема (формула Эйлера). Существует и при том единственный (аксиальный) вектор[math]\boldsymbol \omega[/math] такой, что для любых двух точек [math]A,B[/math] твердого тела верна формула [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol{BA}][/math].

Определение. Вектор [math]\boldsymbol\omega[/math] называется угловой скоростью твердого тела.

Доказательство теоремы.
A) Существование.
Продифференцируем векторное равенство [math]\boldsymbol{OA}=\boldsymbol{OB}+\boldsymbol{BA}[/math]
[math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+\frac{d\boldsymbol {BA}}{dt}[/math]

Разложим вектор [math]\boldsymbol{BA}[/math] по базису: [math]\boldsymbol{BA}=\sum_{k=1}^3 x_k\boldsymbol e_k[/math]; отсюда с помощью формул Пуассона получаем
[math]\frac{d\boldsymbol {BA}}{dt}=\sum_{k=1}^3 x_k\dot{\boldsymbol e}_k=\sum_{k=1}^3 x_k[\boldsymbol\omega,\boldsymbol e_k]=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BA}]\qquad (2)[/math]

Б) Единственность. Предположим, что имеется еще один вектор[math]\boldsymbol \omega'\ne\boldsymbol\omega[/math] удовлетворяющий условию теоремы: [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+[\boldsymbol \omega',\boldsymbol{BA}][/math]. Вычитая эту формулу из формулы ,стоящей в теореме , получаем [math][\boldsymbol \omega-\boldsymbol \omega',\boldsymbol{BA}]=0[/math]. Поскольку точки [math]A,B[/math] являются произвольными точками твердого тела, из последней формулы следует, что [math]\boldsymbol \omega-\boldsymbol \omega'=0[/math]. Противоречие.
Теорема доказана.

Важный пример. Пусть твердое тело вращается вокруг оси [math]z[/math] так, что
[math]\boldsymbol e_1=\cos\varphi\boldsymbol e_x+\sin\varphi \boldsymbol e_y,\quad \boldsymbol e_2=\cos\varphi\boldsymbol e_y-\sin\varphi \boldsymbol e_x,\quad \boldsymbol e_3=\boldsymbol e_z ,[/math]

где [math]\varphi=\varphi(t)[/math] -- угол поворота твердого тела вокруг оси [math]z[/math]. Найдем угловую скость.
Продифференцируем первую из этих формул: [math]\dot{\boldsymbol e}_1=(-\sin\varphi\boldsymbol e_x+\cos\varphi \boldsymbol e_y)\dot\varphi=\dot\varphi\boldsymbol e_2,[/math] аналогично, [math]\dot{\boldsymbol e}_2=-\dot\varphi\boldsymbol e_1.[/math] Заметим еще, что [math]\dot{\boldsymbol e}_3=0[/math]. Подставляя эти формулы в (1) находим

[math]\boxed{\boldsymbol\omega=\dot\varphi \boldsymbol e_z}[/math]

Эта формула вместе с формулой сложения угловых скоростей позволяет находить угловую скорость твердого тела, не пользуясь определением.

Дифференцируя формулу Эйлера, с учетом (2) получаем формулу Ривальса распределения ускорений в твердом теле:
[math]\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_B+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{BA}]+[\boldsymbol\omega,[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BA}]],[/math]

где [math]\boldsymbol\varepsilon=\dot{\boldsymbol\omega}[/math] -- угловое ускорение твердого тела.

Качение без проскальзывания.



Изображение

Пусть твердое тело (на рисунке овал, заштрихованый точками) катится без проскальзывания c угловой скоростью [math]\boldsymbol \omega[/math] по неподвижной поверхности. Через [math]P[/math] обозначим точку тела, которой оно касается поверхности в данный момент; через [math]A[/math] обозначим точку контакта, которая движется по поверхности со скоростью [math]\boldsymbol v_A[/math]. Геометрически точки [math]A[/math] и [math]P[/math] совпадают.

Теорема (Я. В. Татаринов) [math]\boldsymbol a_P=-[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_A][/math].


Доказательство. Верхними индексами [math]r,e,c[/math] будем обозначать относительные, переносные, кориолисовы скорости и ускорения.
Введем подвижную систему координат, жестко связанную с твердым телом. Тогда [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_A^r+\boldsymbol v_A^e[/math]. По условию тело не проскальзывает: [math]\boldsymbol v_A^e=\boldsymbol v_P=0[/math] и значит [math]\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_A^r[/math].
Продифференцируем последнее равенство по времени
[math]\boldsymbol a_A=\frac{\delta}{\delta t}\boldsymbol v_A^r+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol v_A^r]=\boldsymbol a_A^r+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol v_A^r]\qquad (1)[/math]

здесь [math]\frac{\delta}{\delta t}[/math] -- производная по времени относительно подвижной системы.
С другой стороны
[math]\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_A^r+\boldsymbol a_A^e+\boldsymbol a_A^c\qquad (2)[/math]

причем [math]\boldsymbol a_A^e=\boldsymbol a_P,\quad \boldsymbol a_A^c=2[\boldsymbol \omega,\boldsymbol v_A^r].[/math]
Вычитая из (2) (1) получаем требуемый результат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача из Кинематики

в форуме Механика

Badrulos

3

662

02 апр 2014, 13:46

Задача из кинематики вращательного движения

в форуме Механика

makc59

2

262

29 окт 2017, 23:31

Обратная задача кинематики манипулятора

в форуме Механика

one man

1

80

26 дек 2023, 21:10

Элементы

в форуме Теория вероятностей

madam9707

1

301

14 янв 2015, 13:30

Элементы комбинаторики

в форуме Теория вероятностей

marmelad

6

380

03 сен 2015, 16:19

Элементы многоугольников

в форуме Геометрия

melika

17

1222

23 янв 2016, 18:05

Элементы комбинаторики

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Olga1975

10

661

27 фев 2016, 00:02

Элементы комбинаторики

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

King

0

394

17 янв 2016, 15:17

Элементы комбинаторики

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

OlgaVaraksina

1

745

21 ноя 2014, 20:40

Выписать элементы A

в форуме Алгебра

Tupaya Dura

3

96

28 окт 2021, 17:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved