Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача по теоретической механике
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=45&t=24078
Страница 1 из 1

Автор:  dmitry_klevtsov [ 10 май 2013, 12:42 ]
Заголовок сообщения:  Задача по теоретической механике

Нужна помощь:
На шероховатой горизонтальной плоскости лежит катушка массой m. Её момент инерции относительно собственной оси J=ymR^2, где y-числовой коэффициент, R-внешний радиус катушки, r-радиус намотанного слоя ниток. Катушку без скольжения начали тянуть силой F, направленной под углом a(альфа) к горизонту. Найдите ускорение оси катушки.

Вложения:
IMAG0609.jpg
IMAG0609.jpg [ 176.01 Кб | Просмотров: 292 ]

Автор:  Human [ 12 май 2013, 09:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по теоретической механике

На катушку действуют три силы: сила тяжести [math]m\vec{g}[/math], сила трения покоя [math]\vec{F}_f[/math] и сила [math]\vec{F}[/math]. По условию поверхность шероховатая, то есть подразумевается, что катушка начинает двигаться без скольжения, поэтому между поступательной скоростью центра масс катушки [math]v[/math] и угловой скоростью вращения катушки относительно центра масс [math]\omega[/math] существует связь [math]v=\omega R[/math], сохраняющаяся во времени благодаря силе трения покоя (она препятствует возникновению проскальзывания). Дифференцируя её, получаем [math]a=\varepsilon R[/math].

Запишем второй закон Ньютона в проекции на поверхность, считая, что катушка будет двигаться влево (на самом деле направление движения катушки будет зависеть от величины угла [math]\alpha[/math], что будет видно далее):

[math]ma=F_f-F\cos\alpha[/math]

Запишем уравнение моментов относительно оси катушки:

[math]\gamma mR^2\varepsilon=Fr-F_fR[/math]

Вместе с уравнением связи получается три уравнения с тремя неизвестными [math]a,\ \varepsilon[/math] и [math]F_f[/math]. Выражаем из них [math]a[/math]:

[math]a=\frac{r-R\cos\alpha}{(\gamma+1)R}\cdot\frac F m[/math]

Как видим, при достаточно малом угле наклона катушка будет двигаться в сторону действия силы [math]\vec{F}[/math], но при углах [math]\alpha>\arccos\frac r R[/math] она двигается влево.

Автор:  Human [ 12 май 2013, 10:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по теоретической механике

Ещё забыл в действующие силы записать силу реакции опоры, но она, как и сила тяжести, ни на что не влияет: они не создают моментов относительно оси катушки и не дают проекций на поверхность.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/