Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 23 фев 2020, 01:36 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 ноя 2015, 02:22
Сообщений: 152
Cпасибо сказано: 48
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]f(x,y)=4x^2+4y^2+3xy−2x+5[/math] где (x, y) на прямой: 0=n⃗ ⋅(x⃗ −p⃗ )= [math]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}{ \cdot (\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix})}[/math]

найти x,y координаты оптимума.

Как найти координаты с помощью метода множителей Лагранжа?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 23 фев 2020, 19:20 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7028
Cпасибо сказано: 85
Спасибо получено:
1238 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 192

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K1b0rg писал(а):
на прямой: 0=n⃗ ⋅(x⃗ −p⃗ )= [math]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}{ \cdot (\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix})}[/math]

Это что, прямая?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 23 фев 2020, 20:23 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7028
Cпасибо сказано: 85
Спасибо получено:
1238 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 192

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Это что, прямая?

Хотя, если добавить знак транспонирования, то может быть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 23 фев 2020, 22:13 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3169
Cпасибо сказано: 500
Спасибо получено:
936 раз в 806 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
searcher писал(а):
Это что, прямая?

Хотя, если добавить знак транспонирования, то может быть.

Думаю, это просто скалярное произведение векторов. Тогда ограничение - прямая у=х+5.

Тогда и Лагранж излишен. Подставляйте и минимизируйте простую функцию одного переменного.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
K1b0rg
 Заголовок сообщения: Re: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 24 фев 2020, 18:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K1b0rg писал(а):
найти x,y координаты оптимума.

Как найти координаты с помощью метода множителей Лагранжа?

Поскольку Вы этого писали , то вероятно дело не в том просто найти экстремальной точки, а найти именно при
помощи методом Лагранжа! Кажеться так велел Ваш преподаватель.
И так :
1) Как уже предположили надо искать экстремум под условия :
[math]\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = (-1 ,1) \cdot \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\right) = (-1,1) \cdot \begin{pmatrix} x+2 \\ y-3 \end{pmatrix} =[/math]
[math]=-x-2+y-3=0 \Rightarrow x-y+5=0 =\varphi (x,y)[/math];
2)Строим ф-я Лагранжа [math]L(x,y) = f(x,y)+ \lambda \varphi (x,y)[/math];
Находим частные производные по [math]x,y[/math] и приравняем их к [math]0[/math] :
2.1) [math]\frac{\partial L}{\partial x}= 8x+3y -2 =0, \frac{\partial L}{\partial y}= 8y+3x =0[/math];
3) Решаем систему :
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 8x+3y -2 =0 \\
& 8y+3x =0 \\
& x-y+5=0
\end{aligned}\right.[/math]

Находим [math]x =- \frac{ 53 }{ 22 },y = \frac{ 1157 }{ 22 }[/math] , т.[math]\left( x_{0},y_{0}\right)=\left( - \frac{ 53 }{ 22 },\frac{ 1157 }{ 22 }\right)[/math], "подозрительная" на экстремум, т.е. ето условие
[math]\left(\frac{\partial L(x_{0},y_{0})}{\partial x}= \frac{\partial L(x_{0},y_{0})}{\partial y}=0 \right)[/math]
только необходиммое условие для существование экстремума в этой точки!;
Переходим к проверку достаточные условия экстремума !
4) Находим [math]\frac{\partial^2 f(x_{0},y_{0})}{\partial x^2}=8;\frac{\partial^2 f(x_{0},y_{0})}{\partial y^2}=8;\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x \partial y} =3; \frac{\partial \varphi (x_{0},y_{0})}{\partial x}=1; \frac{\partial \varphi (x_{0},y_{0})}{\partial y}=-1[/math];

[math]\Delta = -\begin{vmatrix} 0 & \frac{\partial \varphi (x_{0},y_{0})}{\partial x} & \frac{\partial \varphi (x_{0},y_{0})}{\partial y} \\ \frac{\partial \varphi (x_{0},y_{0})}{\partial x} & \frac{\partial^2 f(x_{0},y_{0})}{\partial x^2} & \frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial \varphi (x_{0},y_{0})}{\partial y} & \frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f(x_{0},y_{0})}{\partial y^2} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 8 & 3 \\ -1 & 3 & 8 \end{vmatrix}=-(-22)=22 > 0[/math] ;
Тогда согласно теории метода Лагранжа в т. [math](x_{0},y_{0})=\left( - \frac{ 53 }{ 22 },\frac{ 1157 }{ 22 }\right)[/math] у ф-ии
[math]f(x,y) =4x^2+4y^2 +3xy -2x+5,[/math] при условие : [math]x-y+5=0[/math] , есть локальный минимум!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
K1b0rg
 Заголовок сообщения: Re: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 24 фев 2020, 18:54 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3169
Cпасибо сказано: 500
Спасибо получено:
936 раз в 806 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
[math](x_{0},y_{0})=\left( - \frac{ 53 }{ 22 },\frac{ 1157 }{ 22 }\right)[/math]... есть локальный минимум!

Ограничение в этой точке не выполнено.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)
СообщениеДобавлено: 24 фев 2020, 19:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
Tantan писал(а):
[math](x_{0},y_{0})=\left( - \frac{ 53 }{ 22 },\frac{ 1157 }{ 22 }\right)[/math]... есть локальный минимум!

Ограничение в этой точке не выполнено.

Правильно минимум при данном ограничение в т.[math](x_{0},y_{0})=\left( - \frac{ 53 }{ 22 },\frac{ 57 }{ 22 }\right)[/math]!Извиняюс! Я неправильно вычислил, не отчел [math]\lambda[/math] !
Система будеть :[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{\partial L}{\partial x}= 8x+3y - 2+ \lambda =0 \\
& \frac{\partial L}{\partial y}= 8y+3x - \lambda =0 \\
& x-y+5 = 0
\end{aligned}\right.[/math]
и тогда решения будут : [math]x = - \frac{ 53 }{ 22 }, y=\frac{ 57 }{ 22 }, \lambda =\frac{ 297 }{ 22 }[/math] !
Надеюс, что не перепутал вычисления! :) Иначе, в методике( алгоритм действия) все правильно!
Тогда все будеть как надо!Еще раз мои извинения!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Метод множителей Лагранжа

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Promix

2

955

15 май 2013, 20:58

Метод множителей Лагранжа

в форуме Алгебра

DanyaRRRR

11

746

01 янв 2018, 01:39

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

в форуме Дифференциальное исчисление

Rostislav

0

291

15 фев 2015, 14:53

Оптимизация с ограничениями типа равенств и неравенств

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Windrunner

2

347

11 янв 2016, 12:53

Принцип множителей лагранжа

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

momus

2

428

11 янв 2014, 01:48

Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

neighbour

8

1688

05 фев 2012, 23:47

С помощью правила множителей Лагранжа решить задачу

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

222 20

5

681

28 окт 2011, 20:19

Метод множителей, выражение формул

в форуме Численные методы

wanted4235

12

447

01 июн 2016, 12:20

Метод лина выделения множителей примеры

в форуме Алгебра

Evelate

4

470

09 июн 2017, 13:50

Задачи коши, метод лагранжа, метод понижения порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

delli-girl

0

714

21 май 2013, 19:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved