Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 08:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 окт 2017, 18:24
Сообщений: 38
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задание представляет собой таблицу с исходными данными и вид зависимости, которую необходимо аппроксимировать, используя МНК.

Функция (зависимость): Y(x) = A/(B*x + C)

Данные(таблица исходных данных):

x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Y: 0.529, 0.298, 0.267, 0.171, 0.156, 0.124, 0.1, 0.078, 0.075

Ход решения:

S(A,B,C) = [math]\sum (y_{i}-(\frac{ A }{ Bx+C } ))[/math]

Беру частные производные:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 2\sum(y_{i}-\frac{A}{Bx_{i}+C})(-\frac{1}{Bx_{i}+C}) = 0 \\
& 2\sum(y_{i}-\frac{A}{Bx_{i}+C})(\frac{Ax_{i}}{(Bx_{i}+C)^{2}}) = 0 \\
& 2\sum(y_{i}-\frac{A}{Bx_{i}+C})(\frac{A^{2}}{(Bx_{i}+C)^{2}}) = 0
\end{aligned}\right.[/math]


Далее:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \sum(-\frac{y_{i}}{(Bx_{i}+C)}+\frac{A}{(Bx_{i}+C)^{2}}) =0 \\
& \sum(\frac{Ax_{i}y_{i}}{(Bx_{i}+C)^2}-\frac{A^{2}x_{i}}{(Bx_{i}+C)^{3}}) = 0 \\
& \sum(\frac{Ay_{i}}{(Bx_{i}+C)^{2}}-\frac{A^{2}}{(Bx_{i}+C)^{3}}) = 0
\end{aligned}\right.[/math]


...

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& -\frac{\sum y_{i}}{(B\sum x_{i}+C)}+\frac{A}{(B\sum x_{i}+C)^{2}}) =0 \\
& \frac{A\sum x_{i}y_{i}}{(B\sum x_{i}+C)^2}-\frac{A^{2}\sum x_{i}}{(B\sum x_{i}+C)^{3}}) = 0 \\
& \frac{A\sum y_{i}}{(B\sum x_{i}+C)^{2}}-\frac{A^{2}}{(B\sum x_{i}+C)^{3}}) = 0
\end{aligned}\right.[/math]


В примерах на этом сайте http://www.mathprofi.ru/metod_naimenshih_kvadratov.html, показано, что после моих последних операций нужно перенести [math]\sum y_i, \sum x_i^{2}y_i, \sum x_i y[/math] и т.д в правую сторону за знак равенства и в левой стороне остаются лишь [math]x_i[/math]

Вопрос, как как мне сделать это в моем случае? Это нужно мне, чтобы потом решить оставшуюся часть в excel.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 08:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По B и по C кажется ошиблись в производной.
А вообще лучше не морочить голову и сделать замену y'=1/y

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Talanov
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 08:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первой системе у Вас правильно взята только производная по А, остальные взяты неверно! Следующие системы вообще не имеют смысла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 08:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Также, если у вас лабораторное задание, то минимум можно находить численно, что всегда и делается, обычно. Excel позволяет это делать.
И да, только сейчас обратил внимание - по факту у вас только два параметра. На A можно поделить уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 14:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я аппроксимировал методом Монте Карло
Составил файл данных "data.txt"
1 .529
2 .298
3 .267
4 .171
5 .156
6 .124
7 .1
8 .078
9 .075


Текст проги на языке Yabasic
open #1,"data.txt","r"
dim x(20),y(20)
for i=1 to 9
input #1 x(i),y(i)
print x(i),y(i)
next i
z=0.0005
s=10^50
A0=1:B0=1:C0=1
for i=1 to 2000000
s1=0
A=A0*(1+z*(ran()-.5))
B=B0*(1+z*(ran()-.5))
C=C0*(1+z*(ran()-.5))
for j=1 to 9
s1=s1+(A/(B*x(j)+C)-y(j))^2
next j
if s1<s then s=s1
print A,B,C,s
A0=A:B0=B:C0=C
Ak=A:Bk=B:Ck=C
fi
next i
print
for i=1 to 9
y=Ak/(Bk*x(i)+Ck)
print x(i),y(i),y
next i


Результат счета:
Изображение

Видно, что A=1.05829 ; B=1.31142 ; C=0.695036

минимальная сумма квадратов отклонений 0,00248943

Далее - таблица сравнения исходника с аппроксимацией

Но нужно заметить: при каждой загрузке проги параметры "плавают", правда в узком диапазоне, хотя сумма квадратов отклонений неизменна. Это говорит о том, что экстремум настолько "тупой", что почти как стол плоский.
Например, были такие варианты:
1.0607 ; 1.3144 ; 0.69616
или
1.05468 ; 1.30694 ; 0.692662
или
1.06349 ; 1.31785 ; 0.698447
и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 15:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Минимальная сумма квадратов практически та же самая в Mathcad, а коэффициенты отличаются видимо с точностью до общего множителя, но так и должно быть в силу произвольности параметра А (см. замечание swan выше)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 17 апр 2019, 15:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А! Разобрался! В аппроксимирующей формуле лишний параметр. Если числитель и знаменатель поделить на A, то аппроксимирующая формула будет иметь только два параметра, но они будут четкими. А так число вариантов бесконечно. Таким образом, аппроксимация

[math]y=\frac{1}{bx+c}[/math]

где [math]b=1.23918\, ; \, c=0.656753[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 18 апр 2019, 00:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Таким образом, аппроксимация

[math]y=\frac{1}{bx+c}[/math]

где [math]b=1.23918\, ; \, c=0.656753[/math]


А тоже самое средствами Эксель сможете получить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 18 апр 2019, 01:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov, запросто. Но мой способ более универсальный и способен на все случаи. В отличие от Excel, у которого набор аппроксимирующих формул - кот наплакал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аппроксимация зависимости методом наименьших квадратов
СообщениеДобавлено: 18 апр 2019, 02:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11671
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 795
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Talanov, запросто.

Покажите что получилось.
Avgust писал(а):
В отличие от Excel, у которого набор аппроксимирующих формул - кот наплакал.

Какую функцию захотите, с той Эксель и будет работать, то есть набор функций безграничен. Судя по вашим ответам, вы не умеете аппроксимировать в Эксель.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов

в форуме Maple

aflear

34

2716

19 мар 2016, 12:18

Найти формулу вида y=ax+b методом наименьших квадратов

в форуме Дифференциальное исчисление

Nadezhda777

7

1633

05 май 2014, 11:16

Метод наименьших квадратов; почему именно квадратов?

в форуме Численные методы

tushkan

17

3038

04 апр 2015, 15:19

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

Dmitriy70

9

500

18 июн 2017, 15:27

Метод наименьших квадратов

в форуме Дифференциальное исчисление

Andrey82

9

288

02 авг 2020, 12:30

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

Fireman

6

539

12 дек 2018, 14:58

Метод наименьших квадратов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

tabaluga13

4

348

26 окт 2018, 19:06

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

cincinat

2

486

16 окт 2015, 19:07

Метод наименьших квадратов

в форуме Численные методы

Dolgopups_poschadi

9

913

09 янв 2016, 16:06

Найти по методу наименьших квадратов

в форуме Теория вероятностей

vega

1

696

28 апр 2015, 23:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved