Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Многогранники на плоскости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=42&t=59832
Страница 1 из 1

Автор:  min_ [ 12 май 2018, 19:27 ]
Заголовок сообщения:  Многогранники на плоскости

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать лемму.
Вектор [math]p \in \mathbb{R} ^2 \setminus \left\{ 0 \right\}[/math] опорный к выпуклому компактному множеству [math]\mathcal{X} \subset \mathbb{R} ^{2}[/math] в точке [math]x \in \partial \mathcal{X}[/math], если для всех [math]\widetilde{x} \in \mathcal{X}[/math] верно неравенство

[math]\left( p, x \right) \geqslant (p, \widetilde{x})[/math],
[math]max_{\widetilde{x }\in \mathcal{X}} \left( p,\widetilde{x} \right)=(p,x)[/math].

Нормальным конусом [math]\mathcal{N} (x, \mathcal{X} ) \subset \mathbb{R} ^{2} \backslash \left\{ 0 \right\}[/math] выпуклого и компактного множества [math]\mathcal{X} \subset \mathbb{R} ^{2}[/math] в точке [math]x\in \mathcal{X}[/math] назовем множество всех векторов опорных к [math]\mathcal{X}[/math] в [math]x[/math]:

[math]\mathcal{N} (x, \mathcal{X} )=\left\{ p \in \mathbb{R} ^{2} \backslash \left\{ 0 \right\} \,\colon (p,x)=max_{\widetilde{x }\in \mathcal{X}} \left( p,\widetilde{x} \right)\right\}[/math]

Для любого [math]x \in int \mathcal{X}[/math]
[math]\mathcal{N} (x, \mathcal{X} )= \emptyset[/math]

Лемма 1. Пусть [math]\mathcal{X} \subset \mathbb{R} ^2[/math] - выпуклый компакт. [math]Ext \mathcal{X} = \left\{ x^1,..., x^M\right\}[/math]. Тогда [math]\bigcup\limits_{i=1}^{M} \mathcal{N} (x^i, \mathcal{X} ) = \mathbb{R}^2 \setminus \left\{ 0 \right\} .[/math]

Автор:  searcher [ 12 май 2018, 19:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Многогранники на плоскости

Интуитивно лемма кажется верной. Возьмём на плоскости произвольную прямую. Опустим её так, чтобы она не пересекалась с нашим множеством. Затем будем её потихоньку поднимать, пока она не столкнётся с нашим множеством в какой-нибудь угловой точке. (Таких точек может быть и две, но для определённости возьмём одну из них). Тогда вектор, перпендикулярный к нашей прямой, будет принадлежать нормальному конусу в этой угловой точке.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/