Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Оптимизация при ограничении равенстве
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=42&t=55177
Страница 1 из 2

Автор:  nomot [ 03 июл 2017, 11:50 ]
Заголовок сообщения:  Оптимизация при ограничении равенстве

У меня возник вопрос какие условия второго порядка накладываются на Гессиан (bordered Hessian), чтобы можно было определить найденные стационарные точки максимум, минимум или седловая точка?

Автор:  searcher [ 03 июл 2017, 18:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

nomot писал(а):
У меня возник вопрос какие условия второго порядка накладываются на Гессиан (bordered Hessian),

Понимаете, что такое bordered Hessian?

Автор:  nomot [ 04 июл 2017, 13:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

searcher писал(а):
nomot писал(а):
У меня возник вопрос какие условия второго порядка накладываются на Гессиан (bordered Hessian),

Понимаете, что такое bordered Hessian?



Не особо, но на для тех примеров, что по оптимизации я решаю, используется матрица составленная из вторых производных функции Лагранжа по переменным и первая производная по ограничению.


[math]\begin{pmatrix} 0 & gx & gy \\ gx & Lxx & Lxy \\ gy & Lyx & Lay \end{pmatrix}[/math]

Автор:  searcher [ 04 июл 2017, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

nomot писал(а):
У меня возник вопрос какие условия второго порядка накладываются на Гессиан (bordered Hessian), чтобы можно было определить найденные стационарные точки максимум, минимум или седловая точка?

Абсолютно точно такие же, какие накладываются на обыкновенный гессиан функции при исследовании её стационарной точки в задаче без ограничений.
searcher писал(а):
Понимаете, что такое bordered Hessian?

nomot писал(а):
Не особо

Тогда печаль. Учебник не пробовали открыть? (Если я правильно понял смысл слова "не особо" - я понял как "вообще не понимаю").

Автор:  searcher [ 04 июл 2017, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

nomot писал(а):
searcher писал(а):
nomot писал(а):
У меня возник вопрос какие условия второго порядка накладываются на Гессиан (bordered Hessian),

Понимаете, что такое bordered Hessian?


Не особо, но на для тех примеров, что по оптимизации я решаю, используется матрица составленная из вторых производных функции Лагранжа по переменным и первая производная по ограничению.

[math]\begin{pmatrix} 0 & gx & gy \\ gx & Lxx & Lxy \\ gy & Lyx & Lay \end{pmatrix}[/math]


Извиняюсь, вы эту матрицу саму придумали или где-то подсмотрели? Может быть мы с вами по разному понимаем термин bordered hessian? Я "bordered" понимаю как ограниченный. Имеется в виду ограничение квадратичной формы на подпространство (которое задаётся ограничениями задачи). При этом размерность кв. формы уменьшается. Вы же понимаете "bordered" как окаймлённый. Размерность у вас увеличивается.
Рекомендую рассмотреть пример [math]xy \to \operatorname{extr}[/math] при условии [math]x+y=0[/math], либо [math]x-y=0[/math].

Автор:  nomot [ 05 июл 2017, 10:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

Я эту матрицу посмотрел в условиях second order condition: Constraint Optimization там она называется bordered matrix, в другом источнике в видео интернете пишут, что если [math]H_{1}^{B}[/math]<0, [math]H_{2}^{B}[/math]>0..., то локальный максимум. Если [math]H_{1}^{B}[/math]<0, [math]H_{2}^{B}[/math]<0 ... то локальный минимум. Что видите как не совпадает с условиями в случае безусловной оптимизации. И у меня возник вопрос, что значат [math]H_{1}^{B}[/math] [math]H_{2}^{B}[/math].

Как я предполагаю

[math]H_{1}^{B}[/math]=[math]\begin{vmatrix} 0 & gx \\ gx & Lxx \end{vmatrix}[/math]

а определитель bordered matrix - [math]H_{2}^{B}[/math].

Автор:  searcher [ 05 июл 2017, 12:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

nomot писал(а):
Я эту матрицу посмотрел в условиях second order condition: Constraint Optimization там она называется bordered matrix,

Ссылочкой не поделитесь?
P.S. Кстати загуглил. Первая ссылка на лекции Кадеишвили http://www.rmi.ge/~kade/LecturesT.Kadeishvili/MathEconomics/Term4/
показала, что мы говорим о разных вещах. Чуть позже разберусь и отвечу.

Автор:  nomot [ 05 июл 2017, 12:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

Спасибо, я эту же лекцию смотрел и не совсем понял как он определяет там условие второго порядка для задачи с ограничением. Вот еще видео, которое я смотрел https://www.youtube.com/watch?v=LmDBUVZ7fnY

Автор:  searcher [ 05 июл 2017, 20:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

Немного почитал по теме. Действительно мы с вами понимали под bordered hessian совершенно разные вещи. Я понимал bordered, как "ограниченный". Этот подход (без термина bordered) описан в любом учебнике. Рассматривается квадратичная форма, т.е. вторая производная по x от функции Лагранжа [math]L(x,\lambda ^*)[/math]. Причём она рассматривается не на всём пространстве, а на подпростанстве дифференциалов, удовлетворяющих соотношению [math](\nabla f(x^*),dx)=0[/math] (т.е. на "касательном подпространстве"). Это подпространство размерности [math]n-m[/math], где [math]n[/math] - размерность основного пространства, а [math]m[/math] - количество ограничений. Преимущество такого подхода - малая размерность пространства, хотя новую матрицу (ограничение Гессиана) ещё надо уметь подсчитать.
По вашим ссылкам я увидел, что они понимают bordered в смысле "окаймлённый". Это относительно новый подход. В одной из загугленных книг увидел ссылку на статью 1993 года. При этом матрица Гесса не "ограничивается", а "окаймляется" столбцами и строками с производными от ограничений так, как вы расписали (я повторять не буду). При этом размерность задачи не уменьшается, а увеличивается с [math]n[/math] до [math]n+m[/math]. Хотя матрица вычисляется проще, чем в традиционном методе. Далее проверяются миноры этой матрицы. Причём первые [math]2m[/math] миноров можно не учитывать. Остальные миноры учитывается абсолютно так же, как в критерии Сильвестра. Доказательство и геометрический смысл этой процедуры я не понял абсолютно. Т.е. я не понял знаки миноров связаны с положительностью какой-либо квадр. функции или нет. Проверил. что для простой задачи, что я выписывал ранее, это работает. Там это дело сводится к определению знака определителя три на три. В классическом подходе нужно рассматривать определитель единичного размера, т.е. число. Если хотите, можем потренироваться на простых примерах.

Автор:  nomot [ 06 июл 2017, 12:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Оптимизация при ограничении равенстве

Спасибо, помсмотрел еще решения к примерам, которые даются для экзамена. У нас три переменные и одно ограничение имеем 3-1=2 надо считать два минора. Там логика такая [math]\Delta _{4}[/math]<0, [math]\Delta _{3}[/math]>0 следовательно точка локальный максимум, [math]\Delta _{4}[/math]<0, [math]\Delta _{3}[/math] <0 локальный максимум, где 4 и 3 соответственно порядок минора, который строится как я показывал что расходится с тем видео, что я выкладывал, хотя в этом видео непонятно какого порядка он считает миноры вначале. Распишите пожалуйста как вы считаете.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/