Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=42&t=52706
Страница 1 из 1

Автор:  mixar [ 21 янв 2017, 04:46 ]
Заголовок сообщения:  Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

Решаю систему нелинейных уравнений в символьном виде, решение выполняю с помощью математических программ. Возник вопрос в плане математики, так как в какой бы я программе не решал данное уравнение, результат один «уравнение не имеет решения».
Вот данная система нелинейных уравнений:[math]\left\{\!\begin{aligned}
& ua=(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8) \\
& v1*(a1-a2)+v2*(a3-a4)+v3*(a5-a6)+v4*(a7-a8)=-4*(ia*za+ib*zab+ic*zca+id*zda) \\
& v1^2*(a1-a2)+v2^2*(a3-a4)+v3^2*(a5-a6)+v4^2*(a7-a8)=4*(za*ya+za*yab+za*yca+za*yda-zab*yab-zca*yca+zad*yad)*ua \\
& 1^3*(a1-a2)+v2^3*(a3-a4)+v3^3*(a5-a6)+v4^3*(a7-a8)=-4*(za*ya+za*yab+za*yca+za*yad-zab*yab-zca*yca+zad*yad)*(ia*za+ib*zab+ic*zca-id*zad) \\
& v1^4*(a1-a2)+v2^4*(a3-a4)+v3^4*(a5-a6)+v4^4*(a7-a8)=4*(za*ya+za*yab+za*yca+za*yad-zab*yab-zca*yca+zad*yad) \\
& v1^5*(a1-a2)+v2^5*(a3-a4)+v3^5*(a5-a6)+v4^5*(a7-a8)=-4*(za*ya+za*yab+za*yca+za*yad-zab*yab-zca*yca+zad*yad) \\
& v1^6*(a1-a2)+v2^6*(a3-a4)+v3^6*(a5-a6)+v4^6*(a7-a8)=4*(za*ya+za*yab+za*yca+za*yad-zab*yab-zca*yca+zad*yad) \\
& v1^7*(a1-a2)+v2^7*(a3-a4)+v3^7*(a5-a6)+v4^7*(a7-a8)=-4*(za*ya+za*yab+za*yca+za*yad-zab*yab-zca*yca+zad*yad)
\end{aligned}\right.[/math]

Правые части уравнений в десятки раз длиннее, тех что я написал, но так как они не меняют «смысла» системы, я не стал писать их полностью.
Требуется найти переменные: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8.
Вопрос в том, что сделать что бы данная система уравнений имела решение? Пробовал понизить степень, результатов это никаких не дало. у меня есть возможность добавить девятое, либо даже десятое уравнение в систему.

Автор:  dr Watson [ 21 янв 2017, 08:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

Да пусть правые части хоть в тристатыщпитсот раз длиннее.
Судя по заявлению - неизвестные только [math]a_1, \ldots, a_8[/math], а все эти ua, v1, ... просто параметры, которые надо считать известными. А тогда и система у Вас линейная с Вандермондоподобным определителем.

Автор:  Avgust [ 22 янв 2017, 11:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

В символьном виде мне Мапл тоже ничего не дал. Наверное лучше поступить так: вычисляете правые дикие части (я обозначил их как b1, b2, ... , b7 ) и решаете систему 8 линейных уравнений :

Изображение

Автор:  dr Watson [ 22 янв 2017, 13:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

Погорячился я, назвав определитель Вандермондоподобным - разглядел только отличие в знаках, а там ещё и параметров не 8, а 4.
Avgust писал(а):
В символьном виде мне Мапл тоже ничего не дал.

Благодаря предыдущему оратору заметил, что определитель нулевой: складывая 1 столбец со 2м, 3й с 4м 5 с 6м и 7й с 8м, получим четыре одинаковых столбца.
Это означает, что ранг основной матрицы при любых значениях параметров не превышает пяти.
Тогда правой части надо ну очень постараться, чтобы сделать систему совместной и в таком случае получится огромное щастье в виде большого множества решений.

Автор:  mixar [ 23 янв 2017, 17:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

dr Watson писал(а):
Тогда правой части надо ну очень постараться, чтобы сделать систему совместной и в таком случае получится огромное щастье в виде большого множества решений.

Как вы считаете, если в получившейся совместной системе уравнений задать пределы всем переменным и точность расчета то есть возможность получить одно единственное решение?

Автор:  dr Watson [ 24 янв 2017, 04:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

А где эта получившаяся? Если правые части постараются и параметры в левой части будут все разные и отличны от нуля, то получится система ранга 5 с восемью неизвестными. Тогда у Вас будет 3 свободных неизвестных, которым можно будет придать любые значения и тогда однозначно вычислить из системы остальные. То есть решения будут зависеть от трёх произвольно задаваемых свободных неизвестных и стало быть решений заведомо будет бесконечно много.
Следующая система в точности моделирует Вашу ситуацию: [math]\left\{\begin{matrix}x+y=a\\ 2x+2y=b\end{matrix}\right.[/math]
Если правые части не связаны соотношением [math]b=2a,[/math] то система не имеет решений, а если они постараются и удовлетворят ему, то система будет равносильна одному уравнению [math]x+y=a.[/math] Решений у него бесконечно много: берём икс произвольно и вычисляем игрек: [math]y=a-x.[/math]
Дело, как видите, совсем не в точности вычислений.

Автор:  mixar [ 28 фев 2017, 15:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение системы нелинейных уравнений 8 уравнений – 8 неизвес

Эта тема уже покрылась «слоем пыли». Но я справился с поставленной задачей и не люблю когда заходишь на какою ни будь тему на форуме читаешь её а ответ так и не найден. В моём случае ответ найден, следовательно считаю, что нужно показать результат.
Во первых исходная система уравнений которую требовалось решить претерпела изменения, были исправлены ошибки в её составлении и добавлено восьмое уравнение. Теперь она выглядит так:
Изображение
Изображение
За тот месяц, в течении которого я пробовал решить уравнение, было перепробовано множество методик. Мне пришлось углубиться в теорию оптимизации, изучить большое количество по этому поводу. В итоге я уже смерился что у меня не получится решить систему уравнений в символьном виде и надежда была только на методы оптимизации.
Но всё оказалось гораздо проще, данную систему можно решить в программе Wolfram Mathematica (у меня 11 версия). Вот код программы:
f1=v1*a1-v1*a2+v2*a3-v2*a4+v3*a5-v3*a6+v4*a7-V4*a8==-4*k1
f2=v1^2*a1+v1^2*a2+v2^2*a3+v2^2*a4+v3^2*a5+v3^2*a6+v4^2*a7+V4^2*a8==4*k2
f3=v1^3*a1-v1^3*a2+v2^3*a3-v2^3*a4+v3^3*a5-v3^3*a6+v4^3*a7-V4^3*a8==-4*k3
f4=v1^4*a1+v1^4*a2+v2^4*a3+v2^4*a4+v3^4*a5+v3^4*a6+v4^4*a7+V4^4*a8==4*k4
f5=v1^5*a1-v1^5*a2+v2^5*a3-v2^5*a4+v3^5*a5-v3^5*a6+v4^5*a7-V4^5*a8==-4*k5
f6=v1^6*a1+v1^6*a2+v2^6*a3+v2^6*a4+v3^6*a5+v3^6*a6+v4^6*a7+V4^6*a8==4*k6
f7=v1^7*a1-v1^7*a2+v2^7*a3-v2^7*a4+v3^7*a5-v3^7*a6+v4^7*a7-V4^7*a8==-4*k7
f8=v1^8*a1+v1^8*a2+v2^8*a3+v2^8*a4+v3^8*a5+v3^8*a6+v4^8*a7+V4^8*a8==4*k8
W=Solve[{f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8},{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8}]
Да решение получается громоздкое (по этому поводу и не привожу его в этом сообщении), но система решена, а для меня это самое важное. Теперь я целиком и полностью убеждён что для решения математических задач, особенно в символьном программы лучше чем Wolfram Mathematica не существует.
Всем спасибо за помощь!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/