Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 11 дек 2016, 17:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2015, 14:52
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

У меня возникла проблема при решении задачи.

Задача: В шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле [math]V=xyz[/math]
Поскольку диагональ параллелепипеда равна радиуса шара, то уравнение сферы выглядит [math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=4R^{2}[/math], оно же является уравнением связи для функции Лагранжа.

Далее я записываю уравнение Лагранжа: [math]L(x;y;z;λ)=xyz+λ(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4R^{2})[/math]

И составляю систему: [math]\left\{\!\begin{aligned}
& L_{x}^{'}=\frac{\partial L}{\partial x} = yz + 2xλ \\
& L_{y}^{'}=\frac{\partial L}{\partial y} = xz + 2yλ \\
& L_{z}^{'}=\frac{\partial L}{\partial z} = xy + 2zλ \\
& x^{2}+y^{2}+z^{2}-4R^{2}=0
\end{aligned}\right.[/math]


Из 1-го уравнения вычитаю 2-е и получаю:
[math]yz+2xλ-xz+2yλ=0[/math]
[math](y-x)(z-2λ)=0[/math]
[math]y=x[/math] или [math]z=2λ[/math]

Что делать дальше не знаю. Предполагаю, что [math]x=y=z=\frac{ 2R }{ \sqrt{3} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 11 дек 2016, 17:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bunny987 писал(а):
Что делать дальше не знаю.

Вы можете подставить то, что вы получили, в систему уравнений. Количество неизвестных в ней уменьшится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Bunny987
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 20 дек 2016, 17:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2015, 14:52
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher

я нашел корни уравнения, но возникла другая проблема.

Корни получились следующие [math]x=y=z=\frac{ 2R }{ \sqrt{3} }[/math] при [math]λ=-\frac{ R }{ \sqrt{3} }[/math]

Далее я хочу воспользоваться критерием Сильвестра. Для это вычисляю вторые производные. Получаю [math]\frac{d^2 f}{d x^2} = 2λ[/math], [math]\frac{d^2 f}{d y^2} = 2λ[/math], [math]\frac{d^2 f}{d z^2} = 2λ[/math], [math]\frac{\partial f}{\partial x \partial y} = z[/math], [math]\frac{\partial f}{\partial y \partial z} = x[/math], [math]\frac{\partial f}{\partial x \partial z} = y[/math]

Составляю матрицу

[math]\begin{pmatrix} 2λ & z & x \\ z & 2λ & y \\ x & y & 2λ \end{pmatrix}[/math]

Получаю, что определитель второго порядка равен 0. Что делать в этом случае? Или у меня неверный ход решения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 20 дек 2016, 22:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Критерий Сильвестра надо использовать не так. Посмотрите в учебнике анализа. Если не найдёте, сообщите какой у вас есть учебник анализа. Поищем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 21 дек 2016, 20:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2015, 14:52
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
у меня лекции, нам говорили, что нужно вычислить все угловые миноры. Если все > 0, то в точке имеется минимум. Если чередуется >, <, то точка максимума. Если один из определителей равен 0, то мы ничего сказать не можем и исследуем дальше через 2-й дифференциал. Но там тоже ничего не получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 21 дек 2016, 21:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bunny987 писал(а):
у меня лекции,

А у меня их нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 25 дек 2016, 00:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
25 апр 2010, 00:33
Сообщений: 2572
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
827 раз в 703 сообщениях
Очков репутации: 249

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эта задача сводится к нахождению наибольшего значения функции 2-х переменных в области.
Здесь нет никаких дополнительных условий на функцию объема параллелепипеда, так что метод Лагранжа здесь применять не нужно.
Искомый параллелепипед - оказывается куб.
Конкретика в картинке.Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Bunny987
 Заголовок сообщения: Re: Вписать в шар параллелепипед наибольшего объема
СообщениеДобавлено: 25 дек 2016, 06:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 12:15
Сообщений: 2054
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
682 раз в 537 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Смотрите Шура, что можно соорудить из простой швейной машинки. :)

При положительных иксах справедливо неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (по буржуйски AM-GM): [math]\frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}[/math]
В данном случае имеем [math]4R^2=x^2+y^2+z^2\geqslant 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3V^{\frac23}[/math]. Равенство здесь наступает при [math]x=y=z.[/math]

А если уж пользовать Лагранжа, то тут никакой Сильвестр не нужен. Сфера компакт и функция [math]V=xyz[/math] непрерывна. Мы определённо знаем, что максимум и минимум функции на сфере есть и есть только два кандидата [math]x=y=z=\frac{2R}{\sqrt3}[/math] и [math]x=y=z=-\frac{2R}{\sqrt3}[/math]. Нетрудно сообразить в какой из них максимум функции, а в какой минимум.

А если уж приспичило Сильвестра пользовать, то делать это надо правильно. Дело в том, что дифференциалы переменных при наличии связи не являются независимыми. Чтобы устранить зависимость, надо продифференцировать уравнение связи, выразить один из дифференциалов через другие и подставить в форму второго дифференциала функции Лагранжа. Получится квадратичная форма от двух переменных. Вот после этого и пытайте её на положительную/отрицательную определённость хоть по Сильвестру, хоть выделением квадратов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Bunny987
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписать параллелепипед в эллипсоид

в форуме Дифференциальное исчисление

AlterEgo

7

657

14 апр 2014, 17:39

Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов

в форуме Дифференциальное исчисление

anpe0681

10

53

17 окт 2017, 01:59

Определить размеры конуса наибольшего объема

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

DanOO7

19

1281

27 сен 2013, 20:13

Найти высоту конуса наибольшего объема

в форуме Геометрия

Maks818

0

464

15 май 2014, 02:41

Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар.

в форуме Геометрия

MessiYa10

2

1945

19 фев 2012, 21:16

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Abyss

1

156

31 янв 2012, 13:29

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

1

112

16 ноя 2015, 22:11

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

1

166

16 ноя 2015, 23:33

Параллелепипед

в форуме Геометрия

Olga1975

0

93

17 ноя 2015, 00:15

Наклонный параллелепипед

в форуме Геометрия

_Astarta_

1

252

24 фев 2014, 15:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved