Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 05 фев 2012, 23:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 фев 2012, 23:38
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться, как использовать условия локального экстремума II порядка при исследовании функции многих переменных на условный экстремум на следующем примере.
Необходимо решить задачу:
exp(x1*x2)->extr при условии
x1+x2=1

Решение задачи: в точке (1/2,1/2) -- максимум. Это легко проверяется, хотя бы построением графика y=exp(x1*(1-x1)).

Вопрос состоит в использовании метода неопределенных множителей Лагранжа. Проблема в том, что матрица Гессе (вторых производных) функции Лагранжа этой задачи не обладает какой-либо знакоопределенностью, т.е. не выполняется даже необходимое условие экстремума, тогда как экстремум в данной точке есть.
Условие задачи и полученная матрица вторых производных -- ниже.
Изображение
Почему возникает противоречие?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 06 фев 2012, 08:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы не учли условие связи между переменными.
Прочтите про достаточные условия условного экстремума (погуглите).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 06 фев 2012, 11:50 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neighbour, можно выразить из уравнения связи, например, переменную [math]x_2[/math] и подставить её выражение через переменную [math]x_1[/math] в исследуемую функцию, и уже искать экстремум функции одной переменной стандартными методами дифференциального исчисления.

Пусть [math]f(x_1,x_2)=\exp(x_1,x_2)[/math]. Найти [math]\mathop {\operatorname{extr}}\limits_{x_1+x_2=1}f(x_1,x_2)[/math].

[math]\begin{gathered}x_2= 1 - {x_1} \hfill \\[5pt] g({x_1}) = \exp [{x_1}(1 - {x_1})] = \exp ({x_1} - x_1^2) \hfill \\[5pt] g'({x_1}) = [\exp ({x_1} - x_1^2)]' = \exp ({x_1} - x_1^2)({x_1} - x_1^2)' = \exp ({x_1} - x_1^2)(1 - 2{x_1}) \hfill \\[5pt] g'({x_1}) = 0~~ \Leftrightarrow~~ \exp ({x_1} - x_1^2)(1 - 2{x_1}) = 0~~ \Leftrightarrow~~ 1 - 2{x_1} = 0~~ \Leftrightarrow~~ {x_1} = \frac{1}{2} \hfill\end{gathered}[/math]

Дальше находите вторую производную и показывайте, что при [math]x_1=\frac{1}{2}[/math] функция [math]g(x_1)[/math] достигает максимума. Должны получить

[math]\mathop {\operatorname{extr}}\limits_{x_1\in \mathbb{R}}g(x_1)= \max_{x_1\in\mathbb{R}}g(x_1)= g\!\left(\frac{1}{2}\right)= \exp\!\left[\frac{1}{2}-{\left(\frac{1}{2}\right)\!}^2\right]= \exp\frac{1}{4}= \sqrt[4]{e}[/math]

[math]x_2= 1 - {x_1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/math]

[math]\mathop{\operatorname{extr}}\limits_{x_1+x_2=1}f(x_1,x_2)= \max_{x_1+x_2=1}f(x_1,x_2)= f\!\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \exp\!\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\sqrt[4]{e}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 06 фев 2012, 13:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 фев 2012, 23:38
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Не обратил внимания, что исследуется знакоопределенность не во всем пространстве, а в подпространстве, ограничиваемом связью между переменными. Тема закрыта.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 18 янв 2019, 23:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 янв 2019, 23:48
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, решить задачу. Никак не получается

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 19 янв 2019, 01:02 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не надо стрелять по воробьям из пушки.
Ну, кто же заставляет решать так устные задачи?
[math]ab \leqslant \left( \frac{ a+b }{2 } \right)^{2}=\frac{ 1 }{4 }[/math], равно при [math]a=b=\frac{ 1 }{ 2 }[/math].
[math]e^{ab} \leqslant e^{\frac{ 1 }{4}}=\sqrt[4]{e}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 19 янв 2019, 06:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fenix, речь в стартовом сообщении шла не о решении этой банальной задачи, а именно о причине якобы сбоя её решения методом Лагранжа.
Этот пример как нельзя лучше подходит в качестве шоковой терапии для осознания того, что исследование знака второго дифференциала при наличии связи - не пустой звук.
Кстати сказать, пренебрежение этой связью студентами весьма распространено и не всегда наказуемо, так как квадратичная форма бывает определена и безусловна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 19 янв 2019, 07:32 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson Я понял, о чём вопрос. Я не понимаю, когда этому учат на таких задачах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа
СообщениеДобавлено: 19 янв 2019, 08:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В густом кустарнике можно и леса не разглядеть. Чем задача проще, тем лучше она подходит для иллюстрации. Тут, как раз, линейность ограничения и знакопеременность второго дифференциала хорошо иллюстрирует скоропалительность и безосновательность вывода без рассмотрения связи.
Обычно я иллюстрирую студентам метод Лагранжа (коварно выбрав момент, когда они про связь забывают) именно на функции [math]xy[/math] при связи [math]x+y=1.[/math] До некоторых доходит.
На этом не останавливаюсь и показываю, что в случае [math]x^2+y^2[/math] при связи [math]x+y=1.[/math] на связь можно наплевать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение методом множителей Лагранжа

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

mathlife

11

366

17 июл 2022, 12:59

Метод множителей Лагранжа

в форуме Алгебра

DanyaRRRR

11

1438

01 янв 2018, 01:39

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

в форуме Дифференциальное исчисление

Rostislav

0

394

15 фев 2015, 14:53

Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа)

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

K1b0rg

6

375

23 фев 2020, 01:36

Нахождение экстремума

в форуме Дифференциальное исчисление

zen

3

190

25 янв 2019, 17:13

Окаймленный Гессиан. Нахождение условного экстремума

в форуме Дифференциальное исчисление

Molotov

1

271

08 дек 2021, 06:25

Канонический вид методом Лагранжа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Jim

0

420

29 май 2014, 14:50

Решить методом Лагранжа и Якоби

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

shadow123

1

324

04 июн 2015, 22:30

ЛНДУ 2 порядка методом Лагранжа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

fugooo

2

176

18 мар 2019, 13:17

Определить вид поверхности, пользуясь методом Лагранжа

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

newe

1

179

10 апр 2020, 18:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved