Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
neighbour |
|
|
Помогите, пожалуйста, разобраться, как использовать условия локального экстремума II порядка при исследовании функции многих переменных на условный экстремум на следующем примере. Необходимо решить задачу: exp(x1*x2)->extr при условии x1+x2=1 Решение задачи: в точке (1/2,1/2) -- максимум. Это легко проверяется, хотя бы построением графика y=exp(x1*(1-x1)). Вопрос состоит в использовании метода неопределенных множителей Лагранжа. Проблема в том, что матрица Гессе (вторых производных) функции Лагранжа этой задачи не обладает какой-либо знакоопределенностью, т.е. не выполняется даже необходимое условие экстремума, тогда как экстремум в данной точке есть. Условие задачи и полученная матрица вторых производных -- ниже. Почему возникает противоречие? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Вы не учли условие связи между переменными.
Прочтите про достаточные условия условного экстремума (погуглите). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math |
||
Alexdemath |
|
|
neighbour, можно выразить из уравнения связи, например, переменную [math]x_2[/math] и подставить её выражение через переменную [math]x_1[/math] в исследуемую функцию, и уже искать экстремум функции одной переменной стандартными методами дифференциального исчисления.
Пусть [math]f(x_1,x_2)=\exp(x_1,x_2)[/math]. Найти [math]\mathop {\operatorname{extr}}\limits_{x_1+x_2=1}f(x_1,x_2)[/math]. [math]\begin{gathered}x_2= 1 - {x_1} \hfill \\[5pt] g({x_1}) = \exp [{x_1}(1 - {x_1})] = \exp ({x_1} - x_1^2) \hfill \\[5pt] g'({x_1}) = [\exp ({x_1} - x_1^2)]' = \exp ({x_1} - x_1^2)({x_1} - x_1^2)' = \exp ({x_1} - x_1^2)(1 - 2{x_1}) \hfill \\[5pt] g'({x_1}) = 0~~ \Leftrightarrow~~ \exp ({x_1} - x_1^2)(1 - 2{x_1}) = 0~~ \Leftrightarrow~~ 1 - 2{x_1} = 0~~ \Leftrightarrow~~ {x_1} = \frac{1}{2} \hfill\end{gathered}[/math] Дальше находите вторую производную и показывайте, что при [math]x_1=\frac{1}{2}[/math] функция [math]g(x_1)[/math] достигает максимума. Должны получить [math]\mathop {\operatorname{extr}}\limits_{x_1\in \mathbb{R}}g(x_1)= \max_{x_1\in\mathbb{R}}g(x_1)= g\!\left(\frac{1}{2}\right)= \exp\!\left[\frac{1}{2}-{\left(\frac{1}{2}\right)\!}^2\right]= \exp\frac{1}{4}= \sqrt[4]{e}[/math] [math]x_2= 1 - {x_1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/math] [math]\mathop{\operatorname{extr}}\limits_{x_1+x_2=1}f(x_1,x_2)= \max_{x_1+x_2=1}f(x_1,x_2)= f\!\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \exp\!\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\sqrt[4]{e}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math |
||
neighbour |
|
|
Спасибо! Не обратил внимания, что исследуется знакоопределенность не во всем пространстве, а в подпространстве, ограничиваемом связью между переменными. Тема закрыта.
|
||
Вернуться к началу | ||
ma6a1994 |
|
|
Вернуться к началу | ||
Fenix |
|
|
Не надо стрелять по воробьям из пушки.
Ну, кто же заставляет решать так устные задачи? [math]ab \leqslant \left( \frac{ a+b }{2 } \right)^{2}=\frac{ 1 }{4 }[/math], равно при [math]a=b=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. [math]e^{ab} \leqslant e^{\frac{ 1 }{4}}=\sqrt[4]{e}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Fenix, речь в стартовом сообщении шла не о решении этой банальной задачи, а именно о причине якобы сбоя её решения методом Лагранжа.
Этот пример как нельзя лучше подходит в качестве шоковой терапии для осознания того, что исследование знака второго дифференциала при наличии связи - не пустой звук. Кстати сказать, пренебрежение этой связью студентами весьма распространено и не всегда наказуемо, так как квадратичная форма бывает определена и безусловна. |
||
Вернуться к началу | ||
Fenix |
|
|
dr Watson Я понял, о чём вопрос. Я не понимаю, когда этому учат на таких задачах.
|
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
В густом кустарнике можно и леса не разглядеть. Чем задача проще, тем лучше она подходит для иллюстрации. Тут, как раз, линейность ограничения и знакопеременность второго дифференциала хорошо иллюстрирует скоропалительность и безосновательность вывода без рассмотрения связи.
Обычно я иллюстрирую студентам метод Лагранжа (коварно выбрав момент, когда они про связь забывают) именно на функции [math]xy[/math] при связи [math]x+y=1.[/math] До некоторых доходит. На этом не останавливаюсь и показываю, что в случае [math]x^2+y^2[/math] при связи [math]x+y=1.[/math] на связь можно наплевать. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решение методом множителей Лагранжа | 11 |
366 |
17 июл 2022, 12:59 |
|
Метод множителей Лагранжа
в форуме Алгебра |
11 |
1438 |
01 янв 2018, 01:39 |
|
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
394 |
15 фев 2015, 14:53 |
|
Оптимизация с ограничениями (Метод множителей Лагранжа) | 6 |
375 |
23 фев 2020, 01:36 |
|
Нахождение экстремума
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
190 |
25 янв 2019, 17:13 |
|
Окаймленный Гессиан. Нахождение условного экстремума
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
271 |
08 дек 2021, 06:25 |
|
Канонический вид методом Лагранжа
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
420 |
29 май 2014, 14:50 |
|
Решить методом Лагранжа и Якоби
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
324 |
04 июн 2015, 22:30 |
|
ЛНДУ 2 порядка методом Лагранжа | 2 |
176 |
18 мар 2019, 13:17 |
|
Определить вид поверхности, пользуясь методом Лагранжа | 1 |
179 |
10 апр 2020, 18:48 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |