Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция Грина
СообщениеДобавлено: 11 окт 2011, 19:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 12:30
Сообщений: 1588
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
546 раз в 433 сообщениях
Очков репутации: 369

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
Столкнулся с недопониманием. Нужно найти функцию Грина для оператора [math]L=\frac{d^2}{dx^2}+k^2,x\in(-\infty,\infty)[/math], с дополнительным условием [math]G(x,x')=0,x>x'[/math]. Пишу уравнение:
[math]\left(\frac{d^2}{dx^2}+k^2\right)G(x,x')=\delta(x-x'),G(x>x')=0[/math]
Решаю его обычными методами (в силу тривиальности не расписываю здесь решение), находя решение уравнения при [math]x<x'[/math] и используя условие сшивки в точке [math]x=x'[/math] для функции и ее производной получаю решение:
[math]G(x,x')=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{k}\sin{(k(x-x'))}, & x' \ge x \\ 0, & x' < x \end{array}[/math]
Второй раз решаю это уравнение с использованием преобразования Фурье [math]G(\xi)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\operatorname{e}^{i\omega\xi}d\omega[/math] и [math]\delta(\xi)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\operatorname{e}^{i\omega\xi}d\omega[/math], где [math]\xi=x-x'[/math], получаю уравнение для функции [math]g(\omega)[/math] из которго ее нахожу:
[math]g(\omega)=\frac{1}{k^2-\omega^2}[/math]
теперь нахожу функцию грина:
[math]G(\xi)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{e}^{i\omega\xi}}{k^2-\omega^2}d\omega[/math]
при его вычислении перехожу на комплексную плоскость, выбираю контур интегрирования (дабы учесть условие обращения функции Грина в ноль при [math]\xi>0[/math]) состоящий из всей действительной оси обходя точки [math]z=\pm k[/math] по малым дугам полуокружностей лежащих в верхней полуплоскости [math]y>0[/math] и замыкаю контур бесконечной дугой в нижней полуплоскости, т. о. при [math]\xi<0[/math] в нутрь контура попадают точки [math]z=\pm k[/math], а при [math]\xi>0[/math] не попадает ни одна и контур замыкается в верхней полуплоскости. Остается теперь посчитать вычеты в особых точках и ответ принимает вид:
[math]G(\xi)=2\pi i\left(\frac{\operatorname{e}^{ik\xi}}{2k}+\frac{\operatorname{e}^{-ik\xi}}{2k}\right)=-\frac{2\pi}{k}\cos{(k\xi)}[/math]
Получается результаты не совпадают, где моя ошибка не пойму...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Грина
СообщениеДобавлено: 11 окт 2011, 21:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 17:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы понять, где ошибка, проверяющему нужно проделать самостоятельно все пропущенные Вами выкладки, на мой взгляд - это скучно....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция Грина
СообщениеДобавлено: 12 окт 2011, 11:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 янв 2011, 12:30
Сообщений: 1588
Откуда: Мамазия
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
546 раз в 433 сообщениях
Очков репутации: 369

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется понял, где ошибка, не верно посчитал вычеты, ошибся знаком. Сумма вычетов в точках [math]\pm k[/math], умноженная на [math]2\pi i[/math] функции [math]f(z)=\frac{\operatorname{e}^{i\xi z}}{k^2-z^2}[/math]:
[math]Res f(z)=2\pi i\lim_{z\to k}\frac{(z-k)\operatorname{e}^{i\xi z}}{(k-z)(k+z)}+2\pi i\lim_{z\to -k}\frac{(z+k)\operatorname{e}^{i\xi z}}{(k-z)(k+z)}=-\frac{2\pi i}{2k}\left(\operatorname{e}^{ik\xi}-\operatorname{e}^{-ik\xi}\right)=\frac{2\pi}{k}\sin{(k\xi)}[/math]
при вычислении вычета в точке [math]k[/math] в первый раз я знак потерял, все перепроверял по нескольку раз был абсолютно уверен в правильности посчитаного вычета, а сегодня решил пересчитать вычет и увидел ошибку.
arkadiikirsanov спасибо, что не оставили без внимания, мой вопрос :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функция Коши и функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Anastasiia2801

2

141

21 июн 2016, 17:26

Функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ALINA_7

1

245

07 май 2014, 17:33

Функция Грина для задачи Коши

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lexus666

0

326

06 авг 2014, 17:00

Функция Грина для задачи Дирихле для уравнения Лапласса

в форуме Специальные разделы

master_zver

0

200

30 ноя 2014, 17:20

Формула Грина

в форуме Интегральное исчисление

vitalya1338

1

74

06 июн 2016, 10:21

Отношение Грина

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Will

0

40

21 ноя 2016, 13:53

Формула Грина

в форуме Интегральное исчисление

pasta

0

127

18 дек 2014, 23:40

По формуле Грина

в форуме Интегральное исчисление

Su-34

1

165

07 июн 2012, 16:36

Формула Грина

в форуме Интегральное исчисление

CM Punk

4

107

24 май 2016, 20:47

Формула Грина

в форуме Интегральное исчисление

veuron

3

265

14 окт 2012, 12:30


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved