Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
dtn888 |
|
|
Существует нелинейная система следующего типа: Мне нужно аналитически проанализировать переходные процесс в такой системе. Под аналитическим исследованием переходного процесса понимается решение x(t) дифференциального уравнения для такой системы и его анализ, то есть: 1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t). 2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов. 3. Оценка амплитуды колебательных составляющих. Ситуация осложняется следующими обстоятельствами: 1. Наличие линейных динамических звеньев в системе, что подразумевает использование приемов из линейной ТАУ. В то же время наличие квадратичного блока [math]f(u) = -u^{2}[/math] делает это невозможным. Вместо [math]f(u) = -u^{2}[/math] могут быть также [math]f(u) = exp(-u^{2})[/math], [math]\frac{ 1 }{ u^{2}+1 }[/math], [math]sech(u)^{2}[/math]. Это не коэффициенты усиления, это нелинейные функции, отображающие вход в выход по выбранной формуле. 2. Наличие квадратичного блока [math]f(u) = -u^{2}[/math] вынуждает рассмотреть вариант написания соответствующего дифференциального уравнения для системы. В то же время наличие в системе линейных динамических звеньев обсулавливает наличие операторов свертки в дифференциальном уравнении, которое превращает дифференциальное уравнение в интегро-дифференциальное уравнение сложной структуры, методов решения которого в общем виде не существует. Проблема: Необходимо выбрать путь аналитического расчета переходных процессов в нелинейной системе с линейными динамическими связями. Вероятное решение: Написать систему диффуров и использовать либо упрощённые методики (какие? я плохо знаком с нелинейной ТАУ), либо инструменты анализа нелинейных пространств состояний и какие-либо другие, более продвинутые методы. Если будет интересно, я напишу, откуда возникла эта задача. Но мне нужно выбрать хотя бы какой-то путь её решения, я в тупике. |
||
Вернуться к началу | ||
Andrey82 |
|
|
dtn888
Я скоро тоже столкнусь с ТАУ. Поэтому мне интересна эта тема. Спросил у знающего человека про Вашу задачу. Своими словами передать не берусь, привожу как цитату, некоторые опечатки убрал, другие - побоялся, сами додумайте. Цитата: Понятно, - аналитическое решение достаточно сложное. Т.к. разместивший указал, что нелинейность есть в обратной связи - в указанном варианте в виде квадратичной функции то формально можно представить схему по-другому: нарисовать эту структуру так что в обратной связи нет звеньев кроме "1" . потом посмотреть - что дает эта нелинейность - на входе нен у -меняет возможно по премени знак а после возведения в квадрат выход знак не меняет. если задать такие начальные условия , при которых у не меняет знак и остается всегда положительным, то эту квадратичную заменяем коэффициентом . Тогда звено это станет линейным. и можно оценить длительность переходного процесса. и прочее. Андрей , я не решаю я просто рассуждаю. там еще есть (h и что-то еще) и вот варьируя ими можно в диф. уравнении этой системы , что то оценить. а по структуре ( структурной схеме после представления - как выше надо и написать эти диф уравнения и далее свести в одно. Просто перенести нелинейность черех линейное звено нельзя. Вот это и есть пример - со старым подходом 0- дай аналитическое решение - при моделировании этой структуры - результат получится быстрее. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
Andrey82 писал(а): dtn888 Я скоро тоже столкнусь с ТАУ. Поэтому мне интересна эта тема. Спросил у знающего человека про Вашу задачу. Своими словами передать не берусь, привожу как цитату, некоторые опечатки убрал, другие - побоялся, сами додумайте. Цитата: Понятно, - аналитическое решение достаточно сложное. Т.к. разместивший указал, что нелинейность есть в обратной связи - в указанном варианте в виде квадратичной функции то формально можно представить схему по-другому: нарисовать эту структуру так что в обратной связи нет звеньев кроме "1" . потом посмотреть - что дает эта нелинейность - на входе нен у -меняет возможно по премени знак а после возведения в квадрат выход знак не меняет. если задать такие начальные условия , при которых у не меняет знак и остается всегда положительным, то эту квадратичную заменяем коэффициентом . Тогда звено это станет линейным. и можно оценить длительность переходного процесса. и прочее. Андрей , я не решаю я просто рассуждаю. там еще есть (h и что-то еще) и вот варьируя ими можно в диф. уравнении этой системы , что то оценить. а по структуре ( структурной схеме после представления - как выше надо и написать эти диф уравнения и далее свести в одно. Просто перенести нелинейность черех линейное звено нельзя. Вот это и есть пример - со старым подходом 0- дай аналитическое решение - при моделировании этой структуры - результат получится быстрее. Благодарю за ответ! Читать написанное невероятно сложно. Тем не менее, я попробую это осмыслить. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
dtn888
Я в вашей задаче не особо понимаю, но хочу заметить, что от вас не требуется находить аналитическое решение этой системы. Внимательно прочтите условие: dtn888 писал(а): 1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t). 2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов. 3. Оценка амплитуды колебательных составляющих. Тут даже намёка нет, что нужна формула, описывающая поведение системы в целом. Для выполнения пункта 1 просто подаёте на вход ступеньку и смотрите, как отреагирует на него каждый компонент. В виду нелинейности результат будет зависеть от величины ступеньки. Для выполнения пункта 2 и 3 подайте на вход синус. После того, как синус возведётся в квадрат, появится синус с удвоенной частотой. А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. То есть возникнут нелинейные искажения. Их уровень будут зависеть от уровня входного синуса. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
searcher писал(а): dtn888 Я в вашей задаче не особо понимаю, но хочу заметить, что от вас не требуется находить аналитическое решение этой системы. Внимательно прочтите условие: dtn888 писал(а): 1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t). 2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов. 3. Оценка амплитуды колебательных составляющих. Тут даже намёка нет, что нужна формула, описывающая поведение системы в целом. Для выполнения пункта 1 просто подаёте на вход ступеньку и смотрите, как отреагирует на него каждый компонент. В виду нелинейности результат будет зависеть от величины ступеньки. Для выполнения пункта 2 и 3 подайте на вход синус. После того, как синус возведётся в квадрат, появится синус с удвоенной частотой. А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. То есть возникнут нелинейные искажения. Их уровень будут зависеть от уровня входного синуса. searcher Эти "условия" сформулированы мной. Это то, чего я хотел бы добиться. Помимо этого, хотелось бы построить некую небольшую теорию переходных процессов в такой системе, чтобы не приходилось каждый раз прибегать к помощи численного анализа, особенно если под рукой нет компьютера. searcher, в какой области Вы работаете? Если это дифференциальные уравнения, то можно переформулировать задачу в этих терминах. Кроме этого, я могу дать ссылки на литературу, в которой предлагаются способы получения приблизительных решений. Меня они не устраивают, т.к. они итерационные, а результат очень громоздкий. Ищу более красивые и простые решения. searcher писал(а): dtn888 Для выполнения пункта 1 просто подаёте на вход ступеньку и смотрите, как отреагирует на него каждый компонент. В виду нелинейности результат будет зависеть от величины ступеньки. Для выполнения пункта 2 и 3 подайте на вход синус. После того, как синус возведётся в квадрат, появится синус с удвоенной частотой. А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. Есть ещё один вариант системы, в которой будет квазиэкспоненциальный процесс с наложенными на него синусоидальными колебаниями. Вот описания этого процесса не существует. searcher писал(а): dtn888 А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. То есть возникнут нелинейные искажения. Их уровень будут зависеть от уровня входного синуса. Было бы здорово научиться описывать эти искажения математически. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
С одной стороны, вопрос простой, с другой, мне нужна помощь специалистов по математике.
Возьмем простую градиентную динамическую систему: [math]\frac{dx}{dt}= \frac{df}{dx}[/math] где [math]f = e^{-(x-x_*)^2}[/math] и [math]x_*[/math] - константа, определяющая положение максимума. Процесс перехода в такой системе - это переход из состояния [math]x(0)[/math] в состояние [math]x_*[/math]. Мы предполагаем, что заранее не знаем значение [math]x_*[/math], а также саму функцию [math]f[/math]. Как сделать так, чтобы переходные процессы в такой системе всегда происходили экспоненциально? Мы можем делать что угодно: добавлять управляющие сигналы или добавлять вспомогательные переменные. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
У меня в голове выстроилась такая картинка, что градиентный диффур превратиться в итоге в систему дифференциальных уравнений. Поэтому я и использовал слово система.
Ещё раз возьмём градиетное уравнение: [math]\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}[/math] А по ссылке представлено его решение: [url]https://www.wolframalpha.com/input/?i=x'%3DD(exp(-(x-1)^2)%2Cx)%2Cx(0)%3D-1[/url] Нужно сделать так, чтобы решением данного градиентного уравнения всегда был переход из одного состояния в другое по экспоненте. Замечу ещё раз, что точка экстремума заранее неизвестна и его поиск как раз и является функцией данного градиентного уравнения. У меня есть ощущение, что нужно включить дополнительный управляющий сигнал, т.е. уравнение должно выглядеть следующим образом: [math]\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u[/math] А вот как его формировать - непонятно. Какой-то критерий экспоненциальности должен учитываться, верно ? Т.е. нужно как-то связать [math]x[/math] , [math]x'[/math], может быть даже [math]x''[/math] и т.д. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
Здесь единственный интересный на данный момент случай - это переход из начальной точки [math]x(0)[/math] в точку экстремума [math]x_*[/math] и качество этого переходного процесса.
Давайте перепишем градиентное уравнение в виде: [math]\frac{dx}{dt} - \frac{df}{dx}=0[/math] В качестве примера функции [math]f[/math] давайте выберем [math]f=e^{-(x-1)^2}[/math] Следовательно: [math]\frac{dx}{dt}- (-2(x-1) \cdot e^{-(x-1)^2})=0[/math] Можно решить численно это уравнение, например в Mathematica, и увидеть, какой тут переходный процесс. Я могу привести код, если нужно. Повторюсь, тут речь идёт не об устойчивости, а о качестве переходных процессов. Предлагаемые инструменты (фазовые портреты и т.д.) и методология в целом корректны в рамках теории нелинейных динамических систем, но те в качественных вопросах теории управления и переходных процессов. Возможно, я что-то упускаю из вида. Тут надо придумать, как ввести либо дополнительную переменную, либо входной сигнал, чтобы скорректировать переходный процесс и наделить его нужными свойствами. Сложность в том, что точка равновесия нам "как бы" заранее неизвестна, поэтому переходный процесс должен корректироваться без опоры на предыдущее и будущее состояние. Вот, что должно получаться. Синее - то, что есть. Оранжевое - то, что должно быть. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
Компенсацию нелинейности делать нельзя.
Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны. Уравнение описывает поиск положения экстремума, и этот переходный процесс должен происходить по экспоненте. |
||
Вернуться к началу | ||
dtn888 |
|
|
Это всего лишь означает, что нужно придумать адативное управление, вот и всё.
У меня была идея связать вторую производную с первой, чтобы получить экспоненциальный переходный процесс: [math]x{''}+x^{'}=0[/math] Но для этого, к сожалению, нужно знать точное значений второй производной в начальный момент времени, иначе система не сойдётся в экстремум... Надеюсь, задача стала понятна. Есть ещё какие-то идеи ? |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |