Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 12 сен 2020, 19:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые пользователи форума. Прошу совета и помощи.

Существует нелинейная система следующего типа:

Изображение

Мне нужно аналитически проанализировать переходные процесс в такой системе.
Под аналитическим исследованием переходного процесса понимается решение x(t) дифференциального уравнения для такой системы и его анализ, то есть:
1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t).
2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов.
3. Оценка амплитуды колебательных составляющих.

Ситуация осложняется следующими обстоятельствами:

1. Наличие линейных динамических звеньев в системе, что подразумевает использование приемов из линейной ТАУ. В то же время наличие квадратичного блока [math]f(u) = -u^{2}[/math] делает это невозможным. Вместо [math]f(u) = -u^{2}[/math] могут быть также [math]f(u) = exp(-u^{2})[/math], [math]\frac{ 1 }{ u^{2}+1 }[/math], [math]sech(u)^{2}[/math]. Это не коэффициенты усиления, это нелинейные функции, отображающие вход в выход по выбранной формуле.

2. Наличие квадратичного блока [math]f(u) = -u^{2}[/math] вынуждает рассмотреть вариант написания соответствующего дифференциального уравнения для системы. В то же время наличие в системе линейных динамических звеньев обсулавливает наличие операторов свертки в дифференциальном уравнении, которое превращает дифференциальное уравнение в интегро-дифференциальное уравнение сложной структуры, методов решения которого в общем виде не существует.

Проблема:
Необходимо выбрать путь аналитического расчета переходных процессов в нелинейной системе с линейными динамическими связями.

Вероятное решение:
Написать систему диффуров и использовать либо упрощённые методики (какие? я плохо знаком с нелинейной ТАУ), либо инструменты анализа нелинейных пространств состояний и какие-либо другие, более продвинутые методы.

Если будет интересно, я напишу, откуда возникла эта задача. Но мне нужно выбрать хотя бы какой-то путь её решения, я в тупике.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 сен 2020, 15:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 820
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
34 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dtn888
Я скоро тоже столкнусь с ТАУ. Поэтому мне интересна эта тема. Спросил у знающего человека про Вашу задачу. Своими словами передать не берусь, привожу как цитату, некоторые опечатки убрал, другие - побоялся, сами додумайте.
Цитата:
Понятно, - аналитическое решение достаточно сложное.
Т.к. разместивший указал, что нелинейность есть в обратной связи - в указанном варианте в виде квадратичной функции то формально можно представить схему по-другому: нарисовать эту структуру так что в обратной связи нет звеньев кроме "1" . потом посмотреть - что дает эта нелинейность - на входе нен у -меняет возможно по премени знак а после возведения в квадрат выход знак не меняет. если задать такие начальные условия , при которых у не меняет знак и остается всегда положительным, то эту квадратичную заменяем коэффициентом . Тогда звено это станет линейным. и можно оценить длительность переходного процесса. и прочее.

Андрей , я не решаю я просто рассуждаю. там еще есть (h и что-то еще) и вот варьируя ими можно в диф. уравнении этой системы , что то оценить. а по структуре ( структурной схеме после представления - как выше надо и написать эти диф уравнения и далее свести в одно. Просто перенести нелинейность черех линейное звено нельзя.

Вот это и есть пример - со старым подходом 0- дай аналитическое решение - при моделировании этой структуры - результат получится быстрее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 сен 2020, 20:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andrey82 писал(а):
dtn888
Я скоро тоже столкнусь с ТАУ. Поэтому мне интересна эта тема. Спросил у знающего человека про Вашу задачу. Своими словами передать не берусь, привожу как цитату, некоторые опечатки убрал, другие - побоялся, сами додумайте.
Цитата:
Понятно, - аналитическое решение достаточно сложное.
Т.к. разместивший указал, что нелинейность есть в обратной связи - в указанном варианте в виде квадратичной функции то формально можно представить схему по-другому: нарисовать эту структуру так что в обратной связи нет звеньев кроме "1" . потом посмотреть - что дает эта нелинейность - на входе нен у -меняет возможно по премени знак а после возведения в квадрат выход знак не меняет. если задать такие начальные условия , при которых у не меняет знак и остается всегда положительным, то эту квадратичную заменяем коэффициентом . Тогда звено это станет линейным. и можно оценить длительность переходного процесса. и прочее.

Андрей , я не решаю я просто рассуждаю. там еще есть (h и что-то еще) и вот варьируя ими можно в диф. уравнении этой системы , что то оценить. а по структуре ( структурной схеме после представления - как выше надо и написать эти диф уравнения и далее свести в одно. Просто перенести нелинейность черех линейное звено нельзя.

Вот это и есть пример - со старым подходом 0- дай аналитическое решение - при моделировании этой структуры - результат получится быстрее.


Благодарю за ответ! Читать написанное невероятно сложно. Тем не менее, я попробую это осмыслить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 сен 2020, 21:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dtn888
Я в вашей задаче не особо понимаю, но хочу заметить, что от вас не требуется находить аналитическое решение этой системы. Внимательно прочтите условие:
dtn888 писал(а):
1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t).
2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов.
3. Оценка амплитуды колебательных составляющих.

Тут даже намёка нет, что нужна формула, описывающая поведение системы в целом. Для выполнения пункта 1 просто подаёте на вход ступеньку и смотрите, как отреагирует на него каждый компонент. В виду нелинейности результат будет зависеть от величины ступеньки. Для выполнения пункта 2 и 3 подайте на вход синус. После того, как синус возведётся в квадрат, появится синус с удвоенной частотой. А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. То есть возникнут нелинейные искажения. Их уровень будут зависеть от уровня входного синуса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 14 сен 2020, 06:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
dtn888
Я в вашей задаче не особо понимаю, но хочу заметить, что от вас не требуется находить аналитическое решение этой системы. Внимательно прочтите условие:
dtn888 писал(а):
1. Оценка времени переходного процесса путем анализа свойств компонентов x(t).
2. Оценка наличия/отсутствия колебательных компонентов.
3. Оценка амплитуды колебательных составляющих.

Тут даже намёка нет, что нужна формула, описывающая поведение системы в целом. Для выполнения пункта 1 просто подаёте на вход ступеньку и смотрите, как отреагирует на него каждый компонент. В виду нелинейности результат будет зависеть от величины ступеньки. Для выполнения пункта 2 и 3 подайте на вход синус. После того, как синус возведётся в квадрат, появится синус с удвоенной частотой. А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. То есть возникнут нелинейные искажения. Их уровень будут зависеть от уровня входного синуса.


searcher
Эти "условия" сформулированы мной. Это то, чего я хотел бы добиться. Помимо этого, хотелось бы построить некую небольшую теорию переходных процессов в такой системе, чтобы не приходилось каждый раз прибегать к помощи численного анализа, особенно если под рукой нет компьютера.

searcher, в какой области Вы работаете? Если это дифференциальные уравнения, то можно переформулировать задачу в этих терминах. Кроме этого, я могу дать ссылки на литературу, в которой предлагаются способы получения приблизительных решений. Меня они не устраивают, т.к. они итерационные, а результат очень громоздкий. Ищу более красивые и простые решения.

searcher писал(а):
dtn888
Для выполнения пункта 1 просто подаёте на вход ступеньку и смотрите, как отреагирует на него каждый компонент. В виду нелинейности результат будет зависеть от величины ступеньки. Для выполнения пункта 2 и 3 подайте на вход синус. После того, как синус возведётся в квадрат, появится синус с удвоенной частотой. А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами.

Есть ещё один вариант системы, в которой будет квазиэкспоненциальный процесс с наложенными на него синусоидальными колебаниями. Вот описания этого процесса не существует.


searcher писал(а):
dtn888
А учитывая, что он подаётся на вход, значит появится бесконечно много синусоид с кратными частотами. То есть возникнут нелинейные искажения. Их уровень будут зависеть от уровня входного синуса.

Было бы здорово научиться описывать эти искажения математически.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 янв 2021, 08:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С одной стороны, вопрос простой, с другой, мне нужна помощь специалистов по математике.

Возьмем простую градиентную динамическую систему:

[math]\frac{dx}{dt}= \frac{df}{dx}[/math]

где [math]f = e^{-(x-x_*)^2}[/math] и [math]x_*[/math] - константа, определяющая положение максимума.

Процесс перехода в такой системе - это переход из состояния [math]x(0)[/math] в состояние [math]x_*[/math].

Мы предполагаем, что заранее не знаем значение [math]x_*[/math], а также саму функцию [math]f[/math]. Как сделать так, чтобы переходные процессы в такой системе всегда происходили экспоненциально?

Мы можем делать что угодно: добавлять управляющие сигналы или добавлять вспомогательные переменные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 янв 2021, 08:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня в голове выстроилась такая картинка, что градиентный диффур превратиться в итоге в систему дифференциальных уравнений. Поэтому я и использовал слово система.

Ещё раз возьмём градиетное уравнение:

[math]\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}[/math]

А по ссылке представлено его решение:

[url]https://www.wolframalpha.com/input/?i=x'%3DD(exp(-(x-1)^2)%2Cx)%2Cx(0)%3D-1[/url]

Нужно сделать так, чтобы решением данного градиентного уравнения всегда был переход из одного состояния в другое по экспоненте. Замечу ещё раз, что точка экстремума заранее неизвестна и его поиск как раз и является функцией данного градиентного уравнения.

У меня есть ощущение, что нужно включить дополнительный управляющий сигнал, т.е. уравнение должно выглядеть следующим образом:

[math]\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u[/math]

А вот как его формировать - непонятно. Какой-то критерий экспоненциальности должен учитываться, верно ? Т.е. нужно как-то связать [math]x[/math] , [math]x'[/math], может быть даже [math]x''[/math] и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 янв 2021, 08:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь единственный интересный на данный момент случай - это переход из начальной точки [math]x(0)[/math] в точку экстремума [math]x_*[/math] и качество этого переходного процесса.

Давайте перепишем градиентное уравнение в виде:

[math]\frac{dx}{dt} - \frac{df}{dx}=0[/math]

В качестве примера функции [math]f[/math] давайте выберем [math]f=e^{-(x-1)^2}[/math]

Следовательно:

[math]\frac{dx}{dt}- (-2(x-1) \cdot e^{-(x-1)^2})=0[/math]

Можно решить численно это уравнение, например в Mathematica, и увидеть, какой тут переходный процесс. Я могу привести код, если нужно.

Повторюсь, тут речь идёт не об устойчивости, а о качестве переходных процессов. Предлагаемые инструменты (фазовые портреты и т.д.) и методология в целом корректны в рамках теории нелинейных динамических систем, но те в качественных вопросах теории управления и переходных процессов. Возможно, я что-то упускаю из вида.

Тут надо придумать, как ввести либо дополнительную переменную, либо входной сигнал, чтобы скорректировать переходный процесс и наделить его нужными свойствами. Сложность в том, что точка равновесия нам "как бы" заранее неизвестна, поэтому переходный процесс должен корректироваться без опоры на предыдущее и будущее состояние.

Вот, что должно получаться. Синее - то, что есть. Оранжевое - то, что должно быть.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 янв 2021, 08:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Компенсацию нелинейности делать нельзя.

Это я задаю структуру функции для моделирования, а вообще предполагается, что ни функция, ни положение экстремума нам неизвестны.

Уравнение описывает поиск положения экстремума, и этот переходный процесс должен происходить по экспоненте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Переходный процесс в нелинейной системе с линейными звеньями
СообщениеДобавлено: 13 янв 2021, 08:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июл 2020, 11:20
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это всего лишь означает, что нужно придумать адативное управление, вот и всё.

У меня была идея связать вторую производную с первой, чтобы получить экспоненциальный переходный процесс:

[math]x{''}+x^{'}=0[/math]

Но для этого, к сожалению, нужно знать точное значений второй производной в начальный момент времени, иначе система не сойдётся в экстремум...

Надеюсь, задача стала понятна. Есть ещё какие-то идеи ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Что делать с линейными пространствами

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Kosta

2

278

01 ноя 2015, 22:51

Какие из преобразований являются линейными

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Irishka09

6

1006

25 ноя 2014, 21:19

Выяснить какие из операторов являются линейными

в форуме Векторный анализ и Теория поля

parenyuk

7

679

21 июн 2018, 19:21

Выяснить является ли данные множества линейными простр

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

deniz

3

395

11 сен 2014, 21:34

Решение нелинейной системы

в форуме Численные методы

vitalikkudinov

0

281

12 апр 2018, 21:54

Предел нелинейной рекурсивной последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

GlotovPO

7

555

22 окт 2018, 13:37

Колебания консервативной нелинейной системы

в форуме Механика

alina_morkovina

0

142

15 дек 2022, 19:36

Кол-во решений нелинейной системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

denial_lugo

2

408

28 дек 2014, 14:13

Решение нелинейной системы уравнений

в форуме Алгебра

antonn

1

82

25 янв 2024, 08:06

Устойчивость нелинейной и линейной систем

в форуме Специальные разделы

mzdryk

1

510

29 июн 2015, 03:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved